圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知曲线C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0，那么下列各点中不在曲线C上的是（　　）

A（0，0）

B（2a，4a）

C（3a，3a）

D（-3a，-a）

正确答案

B

解析

解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程，只有（2a，4a）不满足方程，

所以（2a，4a）不在曲线上．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•天津期末）若曲线y=与直线x+y-m=0有一个交点，则实数m的取值范围是______．

正确答案

解析

解：x2-9≥0，曲线y=，可化为x2-y2=9（y≥0），

x2-9＜0，曲线y=，可化为x2+y2=9（y≥0），

图象如图所示，直线与半圆相切时，m=3，双曲线的渐近线为y=±x

∴实数m的取值范围是．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

讨论当α从0°到180°变化时，曲线x2+y2cosα=1怎样变化？

正确答案

解：当α=0°时，cos0°=1，曲线x2+y2=1为一个单位圆；…（2分）

当0°＜α＜90°时，0＜cosα＜1，曲线为焦点在y轴上的椭圆；…（5分）

当α=90°时，cos90°=0，曲线x2=1为两条平行的垂直于x轴的直线；…（7分）

当90°＜α＜1800时，-1＜cosα＜0，曲线为焦点在x轴上的双曲线；…（10分）

当α=180°时，cos180°=-1，曲线x2-y2=1为焦点在x轴上的等轴双曲线．…（12分）

解析

解：当α=0°时，cos0°=1，曲线x2+y2=1为一个单位圆；…（2分）

当0°＜α＜90°时，0＜cosα＜1，曲线为焦点在y轴上的椭圆；…（5分）

当α=90°时，cos90°=0，曲线x2=1为两条平行的垂直于x轴的直线；…（7分）

当90°＜α＜1800时，-1＜cosα＜0，曲线为焦点在x轴上的双曲线；…（10分）

当α=180°时，cos180°=-1，曲线x2-y2=1为焦点在x轴上的等轴双曲线．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：，A（，-2）经过φ变换所得的点A′的坐标．

正确答案

解：由题意，x=，y=-2，

∴x′=3x=1，y′=y=-1，

∴A（，-2）经过φ变换所得的点A′的坐标为（1，-1）

解析

解：由题意，x=，y=-2，

∴x′=3x=1，y′=y=-1，

∴A（，-2）经过φ变换所得的点A′的坐标为（1，-1）

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题型：填空题

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填空题

M（1，1）是方程2ax2+by2=1（a＞0，b＞0）表示的曲线上的点，则+最小值______．

正确答案

25

解析

解：∵M（1，1）是方程2ax2+by2=1（a＞0，b＞0）表示的曲线上的点，

∴2a+b=1，

∴+=（+）（2a+b）=13++≥13+2=25，

当且仅当=时，取等号，即+最小值为25．

故答案为：25．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，A（x，y），B（-2，0），C（2，0），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程：

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（　　）

AE3，E1，E2

BE1，E2，E3

CE3，E2，E1

DE1，E3，E2

正确答案

A

解析

解：①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与E3对应；

②△ABC的面积为10，所以BC•|y|=10，|y|=5，与E1对应，

③∠A=90°，故•=（-2-x，-y）（2-x，-y）=x2+y2-4=0，与E2对应．

故满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为E3E1E2

故选A．

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题型：单选题

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单选题

已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）分别在直线l上和在l外，若直线l的方程为f（x，y）=0，则方程f（x，y）-f（x1，y1）-f（x2，y2）=0表示（　　）

A与l重合的直线

B与l平行，且过P1的直线

C与l平行，且过P2的直线

D同时过P1、P2的直线

正确答案

C

解析

解：由题意直线l方程为f（x，y）=0，则方程f（x，y）-f（x1，y1）-f（x2，y2）=0，两条直线平行，

P1（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）=0，f（x，y）-f（x1，y1）-f（x2，y2）=0，化为f（x，y）-f（x2，y2）=0，

显然P2（x2，y2）满足方程f（x，y）-f（x1，y1）-f（x2，y2）=0，

所以f（x，y）-f（x1，y1）-f（x2，y2）=0表示过点P2且与l平行的直线．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

方程对应的曲线是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，，且

∴x2+y2=4（x≥0，y≥0）

图象为以原点为圆心，2 为半径，在第一象限的部分（包括与坐标轴的交点）

故选D．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•朝阳区期末）若由方程x2-y2=0和x2+（y-b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（　　）

A或

Bb≥2或b≤-2

C-2≤b≤2

D

正确答案

B

解析

解：由题意，x2-y2=0表示两条直线x±y=0．

∵由方程x2-y2=0和x2+（y-b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，

∴直线与x2+（y-b）2=2相切或相离，

∴≥，

∴b≥2或b≤-2，

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

方程（x-）=0表示的曲线为（　　）

A一条直线和一个圆

B一条射线与半圆

C一条射线与一段劣弧

D一条线段与一段劣弧

正确答案

D

解析

解：∵（x-）=0，

∴x=或=0（-2≤y≤4），

∴x2+（y-1）2=9（x≥0）或x=y（-2≤y≤4）．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线上的点到点F1（0，-5），F2（0，5）的距离之差的绝对值是6，求曲线方程．

正确答案

解：据双曲线的定义知，

P的轨迹是以F1（0，-5），F2（0，5）为焦点，以实轴长为6的双曲线．

所以c=5，a=3

b2=c2-a2=16，

所以双曲线的方程为：．

解析

解：据双曲线的定义知，

P的轨迹是以F1（0，-5），F2（0，5）为焦点，以实轴长为6的双曲线．

所以c=5，a=3

b2=c2-a2=16，

所以双曲线的方程为：．

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题型：单选题

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单选题

在同一坐标系中，方程与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵a＞b

∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，

整理抛物线方程得y2=-x

∵a＞b＞0

∴-＜0

∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．

故选A

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题型：填空题

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填空题

方程2=|x+y+2|的曲线是______．

正确答案

椭圆

解析

解：∵2=|x+y+2|，

∴=，

其几何意义是（x，y）到（1，1）的距离与直线x+y+2=0的距离的比为，轨迹是椭圆．

故答案为：椭圆．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•浏阳市校级月考）两定点F1（-3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（　　）

A|PF1|+|PF2|≥10

B|PF1|+|PF2|≤10

C|PF1|+|PF2|＞10

D|PF1|+|PF2|＜10

正确答案

B

解析

解：∵F1（-3，0），F2（3，0），

∴满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点，

2a=10的椭圆上

可得椭圆的方程为，

∵曲线=1表示的图形是图形是以A（-5，0），

B（0，4），C（5，0），D（0，-4）为顶点的菱形

∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，

因此，曲线=1上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，则下列方程的曲线存在自公切线的有______（填上所有正确的序号）

① ②y2-x2=1③y=2sinx-3cosx ④y=xcosx．

正确答案

③④

解析

解：分别画出① ②y2-x2=1③y=2sinx-3cosx ④y=xcosx．四个曲线的图形，

观察图形得：③y=2sinx-3cosx ④y=xcosx．它们存在自公切线．

故答案为：③④．

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