热门试卷

证明：设P（x0，y0），易知A （-2，0），B （2，0）

（1）充分性：由k1k2=知：，

所以，即，

故点P在双曲线上；

（2）必要性：因为点P在双曲线C上，

所以，故

由已知x0≠±2，故k1k2==

综上（1）（2）知k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

解：设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线．

由2a=2，，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是．

由，得　x2+4x-6=0．

∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故．

解：当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=8，

∴双曲线的标准方程为．       （4分）

当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=-8，这种情况不存在．                             （6分）

（1）解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，

由渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=k，

则有k=，e==，即有c2=2b2=2（c2-a2），即有c2=2a2，

则有离心率e=；

（2）证明：由a=1，e=，可得，c=，b=1．

则双曲线方程为x2-y2=1，F1（-，0），F2（，0），

设B（m，n），则由以F1B为直径的圆过点A，

即有AB⊥F1A，则=-1，

即有3m-n=2，又m2-n2=1．

解得，m=，n=．

则B（，），

则有kAB==3，==，==-1．

则F1B到AB的角的正切为=2，AB到F2B的角的正切为=2，

则有∠ABF1=∠ABF2，即有AB平分∠F1BF2．

解：假设存在题设中的直线m．---------1′

设直线m的方程为y-1=k（x-1），-----------2′

由

得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设B（x1，y1）、C（x2，y2）--------6′，

则=2，解得：k=2-------------11′

此时，△＜0，所以k=2时，直线m与双曲线不相交，

故假设不成立，即题中的直线m不存在．--------------13′

解：设P（m，n）（m＞0），则m2-n2=a2，

等轴双曲线的离心率为e=，

由双曲线的第二定义可得|PF1|=ed1=e（m+）=m+a，

则|PF2|=m-a，

|PO|==，

则有==，

由于m2≥a2，即0＜≤1．

即有1≤2-＜2，

则有的取值范围为（2，2]．

解：由题意可得e==2，A（-a，0），B（a，0），

设P（s，t），（s＞0），即有-=1，

则k1=，k2=，k3=，

k1k3==•b2•=，

则有m=k1k2k3=•，

由双曲线的渐近线方程为y=±x，

即有-＜＜，

由c=2a，可得b=a，

则m的范围是（-3，3）．

故答案为：（-3，3）．

解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，

∴c=5，

焦点F1，F2的坐标：F1（-5，0），F2（5，0）；

焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m-n=6①

②

由①②得

所以   

所以