圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，=（-x0，-y0）•（--x0，-y0）=x02-3+y02=3y02-1＜0，

所以-＜y0＜．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=10，则|HF|=（　　）

A14

B16

C18

D20

正确答案

D

解析

解：设弦MN的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，

由e==4，即c=4a，b==a．

直线MN的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，

可得（b2-a2k2）x2+2ca2k2x-a2c2k2-a2b2=0，

即为（15a2-a2k2）x2+8a3k2x-16a4k2-15a4=0，

x1+x2==．

则由双曲线的第二定义可得|MN|=|MF+|NF|=4（x1-）+4（x2-）

=4（x1+x2）-2a=10，

即有=10+2a，即k2-15=3a（1+k2），①

则m=，n=k（m-4a）=，

弦MN的中垂线方程为y-n=-（x-m），

可得H（，0），

则|HF|=|-4a|=60a•||，

由①可得，|HF|=60a•=20．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的渐近线方程是______．

正确答案

y=±x

解析

解：双曲线，

∴a=2，b=3，焦点在x轴上，

故渐近线方程为 y=±x=±x，

故答案为 y=±．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线右顶点，右焦点分别为A（a，0），F（c，0），若在直线x=上存在点P使得∠APF=30°，则该双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：设直线x=与x轴的交点为H，

设P（，t）（t＞0），

则tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=

==≤，

即有≤=，

即有3e2-4e-4≥0，

解得，e≥2．

故答案为：[2，+∞）

1

题型：填空题

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填空题

下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图（1），（2），（3）中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3．则e1、e2、e3的大小关系为______．

正确答案

e1=e3＞e2

解析

解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（），

∵点（）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=1，

∴a=，c=1，∴e1=+1．

②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（）．

∵点（）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=，

∴a=，c=1，∴e2=．

③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，），

∵点（1，）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，

∴a=-1，c=2，∴e3=+1，

∴e1=e3＞e2．

故答案为：e1=e3＞e2．

1

题型：简答题

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简答题

已知a＞0，设p：函数y=ax在R上单调递减；命题q：方程表示的曲线是双曲线，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

正确答案

解：若p为真，则0＜a＜1，

若q为真，则（a-2）（a-0.5）＜0，解得0.5＜a＜2

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假，或p假q真

若p真q假，则，∴0＜a≤0.5

若p假q真，则，∴1≤a＜2．

综上所述，a∈（0，0.5]∪[1，2）

解析

解：若p为真，则0＜a＜1，

若q为真，则（a-2）（a-0.5）＜0，解得0.5＜a＜2

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假，或p假q真

若p真q假，则，∴0＜a≤0.5

若p假q真，则，∴1≤a＜2．

综上所述，a∈（0，0.5]∪[1，2）

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1左支上一点M到右焦点F的距离为16，N是线段MF的中点，O为坐标原点，则|ON|的值是______．

正确答案

3

解析

解：由题意，连接MF1，则ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，

∵左支上一点M到右焦点F2的距离为16，

∴由双曲线的定义知，|MF2|-|MF1|=2×5，∴|MF1|=6．

∴|ON|=3，

故答案为：3．

1

题型：单选题

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单选题

如图，F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，

不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，

∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF1|+3-4=5-|AF1|，

∴|AF1|=3．

∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，

∴a=1．

在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，

又|F1F2|2=4c2，

∴4c2=52，

∴c=．

∴双曲线的离心率e==．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线-=1的焦距是（　　）

A8

B4

C2

D2

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1中a=2，b=2，

∴c=4，

∴焦距是2c=8．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为______．

正确答案

（-3，0）

解析

解：∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，

∴，

解得-3＜m＜0．

∴m的取值范围为（-3，0）．

故答案为：（-3，0）．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•安庆校级期中）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点．

（1）求双曲线的方程；

（2）若P为该双曲线上任意一点，直线PF1、PF2分别交双曲线于M、N两点，，，请判断λ1+λ2是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

∴F1（-c，0），F2（c，0）；

又点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点，

∴⊥，即•=0，

∴（-c-）（c-）+=0，

解得c=2；

∴||==+，

||==-；

∴||-||=2a=2，

解得a=；

∴b===1，

∴双曲线的方程为-y2=1；

（2）设点P（x0，y0），

∵，

∴-=λ（-），

∴=-=（-，-）；

同理，由，得

=（，-）；

把M、N的坐标代入双曲线方程，得

，

即；

消去x0，得

4（1+λ2）+4（1+λ1）=3（-1）（1+λ2）+3（-1）（1+λ1），

即4（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2+2）=3（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2-2）；

∵（1+λ1）（1+λ2）≠0，

∴4（λ1+λ2+2）=3（λ1+λ2-2），

解得λ1+λ2=-14；即λ1+λ2为定值．

解析

解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

∴F1（-c，0），F2（c，0）；

又点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点，

∴⊥，即•=0，

∴（-c-）（c-）+=0，

解得c=2；

∴||==+，

||==-；

∴||-||=2a=2，

解得a=；

∴b===1，

∴双曲线的方程为-y2=1；

（2）设点P（x0，y0），

∵，

∴-=λ（-），

∴=-=（-，-）；

同理，由，得

=（，-）；

把M、N的坐标代入双曲线方程，得

，

即；

消去x0，得

4（1+λ2）+4（1+λ1）=3（-1）（1+λ2）+3（-1）（1+λ1），

即4（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2+2）=3（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2-2）；

∵（1+λ1）（1+λ2）≠0，

∴4（λ1+λ2+2）=3（λ1+λ2-2），

解得λ1+λ2=-14；即λ1+λ2为定值．

1

题型：填空题

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填空题

以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，-5）的双曲线的标准方程是______．

正确答案

解析

解：椭圆短轴的两个顶点为（0，±3），

∴双曲线的焦点为（0，±3）．

∵双曲线过点A（4，-5），

∴2a==2，

∴a=，

∵c=3，

∴b==2，

∴所求双曲线的标准方程是．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A、B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：由题意，直线的一条渐近线方程斜率为，

∴=，

∴e==2，

故答案为：2．

1

题型：单选题

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单选题

（2015•琼海校级模拟）已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A（1，2）

B（2，1+）

C（，1）

D（1+，+∞）

正确答案

A

解析

解：根据双曲线的对称性，得

△ABE中，|AE|=|BE|，

△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，

由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，

得|AF|＜|EF|

∵|AF|==，|EF|=a+c，

∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，

两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，

∵双曲线的离心率e＞1，

∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知F1，F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，动点P在双曲线的右支上（P点不在x轴上），△PF1F2的内切圆（I为圆心）与x轴切于E点．

（1）求证：E点是双曲线的右顶点；

（2）过F2作直线PI的垂线，且交直线PI于M点，求点M的轨迹方程．

正确答案

（1）证明：∵点P是双曲线右支上一点，

∴按双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，

设E（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：

则有：PF1-PF2=（PB+BF1）-（PC+CF2）=BF1-CF2=EF1-F2E

=（c+x）-（c-x）=2x=2a

∴x=a

∴E（a，0）．

∴E点是双曲线的右顶点；

（2）解：在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OM=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．

∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2．

解析

（1）证明：∵点P是双曲线右支上一点，

∴按双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，

设E（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：

则有：PF1-PF2=（PB+BF1）-（PC+CF2）=BF1-CF2=EF1-F2E

=（c+x）-（c-x）=2x=2a

∴x=a

∴E（a，0）．

∴E点是双曲线的右顶点；

（2）解：在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OM=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．

∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2．

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