- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知在双曲线
（1）若PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积及P的坐标；
（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积及P的坐标．
正确答案
解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F1（-5，0 ）、F2（5，0），
Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1 |-|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2 |=4a2+2•|PF1|•|PF2 |，
∴100=4×16+2•|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=18，
∴△PF1F2面积为
设P（x，y），则
∴P（
（2）△PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-•|PF1|•|PF2 |=（|PF1 |-|PF2|）2+|PF1|•|PF2 |=4a2+|PF1|•|PF2 |，
∴100=4×16+|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=36，
∴△PF1F2面积为
设P（x，y），则
∴P（
解析
解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F1（-5，0 ）、F2（5，0），
Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1 |-|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2 |=4a2+2•|PF1|•|PF2 |，
∴100=4×16+2•|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=18，
∴△PF1F2面积为
设P（x，y），则
∴P（
（2）△PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-•|PF1|•|PF2 |=（|PF1 |-|PF2|）2+|PF1|•|PF2 |=4a2+|PF1|•|PF2 |，
∴100=4×16+|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=36，
∴△PF1F2面积为
设P（x，y），则
∴P（
（2015•文昌校级模拟）斜率为
A
B2
C2
D4
正确答案
解析
解：设斜率为
代入双曲线方程，消去y，可得，（b2-
由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，
则有上式的两根分别为-c，c．
则t=0，即有（b2-
则有2c4-5c2+2=0，
解得c2=2（
则c=
故选：C．
（2016春•湖北月考）在双曲线
A（0，
B（1，
C（
D（
正确答案
解析
解：设双曲线的方程为
∵双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，∴A（-
∵左焦点为在以AB为直径的圆内，
∴-
∴b＜a
∴c2＜2a2
∴1＜e＜
故选：B．
已知双曲线
正确答案
解析
解：设A（x1，y1），C（x2，y2），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x1，-y1），
∴k1k2=
∵点A，C都在双曲线上，
∴
两式相减，可得：k1k2=
对于
函数y=
由y′=-
x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，
∴当x=2时，函数y=
∴当
∴e=
故答案为：
已知F1，F2是双曲线E的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若∠MF1F2=30°，则双曲线E的离心率是______．
正确答案
解析
解：由题意，MF1⊥MF2，设|F1F2|=2c，
∵∠MF1F2=30°，
∴|MF1|=
∴2a=MF1-MF2=（
∴
故答案为：
若点O和点F（-2，0）分别是双曲线
正确答案
解析
解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=
m=-
故 
故答案为：
已知双曲线
正确答案
0
解析
解：∵F1、F2分别是双曲线的左、右焦点
∴△PF1F2中，PO是中线
∴向量
∵
∴
∵双曲线
∴
∴△PF1F2中，中线PO等于F1F2的一半
∴△PF1F2是以P为直角三角形，且∠F1PF2=90°
∴
故答案为：0
求下列直线与双曲线的交点坐标：
（1）2x-y-10=0，
（2）4x-3y-16=0，
正确答案
解：（1）由
由x=6可得y=2，由x=
（2）由
求得y1=y2=3，即有交点坐标为（
解析
解：（1）由
由x=6可得y=2，由x=
（2）由
求得y1=y2=3，即有交点坐标为（
（2015秋•大连校级期中）已知动点P在双曲线x2-y2=1上，定点A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标．
正确答案
解：设P（x，y），则
|PA|=
∴0＜m＜2时，x=
m≥2时，x=1，|PA|的最小值为m-1．
解析
解：设P（x，y），则
|PA|=
∴0＜m＜2时，x=
m≥2时，x=1，|PA|的最小值为m-1．
抛物线y2=8x与双曲线
A2
B
C
D4
正确答案
解析
解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）．
∵抛物线y2=8x与双曲线
∴a2+3=4，
∴|a|=1，∴c=2，
∴双曲线的离心率为2．
故选：A．
双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为______．
正确答案
解析
解：∵双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，
∴渐近线的斜率为
∴
∴e=
故答案为：
已知双曲线
正确答案
48
解析
解：∵双曲线 
∴F1（-5，0），F2（5，0）
∵|PF2|=|F1F2|，
∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16
作PF1边上的高AF2，则AF1=8，
∴
∴△PF1F2的面积为S=
故答案为：48．
已知O为坐标原点，P1、P2是双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），
则x1+x2=2x，y1+y2=2y
∵
两式相减可得：
∴
∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k2，
∴k1k2=
故选：B．
以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）
正确答案
解析
解：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），
右准线为x=1，半径为1，圆方程为（x-2）2+y2=1，
即x2+y2-4x+3=0，
故选B．
已知双曲线
正确答案
解析
∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=
∴|OB|=|OA|．
故选C．
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