热门试卷

T==π，单调增区间为［－π+kπ+kπ］，k∈Z;，函数的单调减区间为［+kπ，π+kπ］，k∈Z

解: y=sin2x+cos2x－2=2sin（2x+）－2.

（1）列表

x

－

π

π

2x+

0

π

π

2π

y=2sin（2x+）－2

－2

0

－2

－4

－2

 其图象如下图所示.

（2）T==π.

由－+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为［－π+kπ+kπ］，k∈Z;

由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为［+kπ，π+kπ］，k∈Z.

（3）由2x+=+kπ得x=+π.

∴函数图象的对称轴方程为x=+π（k∈Z）.

（4）把函数y1=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y2=sin（x+）的图象；

再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y3=sin（2x+）的图象；

再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y4=2sin（2x+）的图象；

最后把y4图象上所有的点向下平移2个单位，得到函数y=2sin（2x+）－2的图象.

评注:（1）求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式.

（2）对于函数y=Asin（ωx+）的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.

（3）第（4）问的变换方法不唯一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.

a∈［，］

分析:所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的齐次方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解.

解法一:原方程可化为

sin2x+2sinxcosx－2cos2x=a（sin2x+cos2x），

即（1－a）sin2x+2sinxcosx－（2+a）cos2x=0.

（1）当a≠1时，∵cosx≠0，∴方程两边同除以cos2x，得

（1－a）tan2x+2tanx－（2+a）=0.

∵tanx∈R，∴Δ≥0，即4+4（1－a）（2+a）≥0，

即a2+a－3≤0.又a≠1，

∴a∈［，1）∪（1，］.

（2）当a=1时，原方程化为2sinxcosx－3cos2x=0，此方程有实根.

综合（1）（2）可得当a∈［，］时，原方程有实数根.

解法二:（用函数观点）

当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx－2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域.

∵y=sin2x+2sinxcosx－2cos2x

=1+sin2x－3cos2x

=1+sin2x－ （1+cos2x）

=sin2x－cos2x－=sin（2x－）－，

其中∴y∈［， ］，

即a∈［，］时，原方程有实数根.

评注: 解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点，通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性.

解：

或

为所求。