三角恒等变换
共635题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知单调递增的等比数列{}满足：,且是的等差中项。

（1）求数列｛an｝的通项公式。

（2）若=,Sn为数列的前项和,求Sn.

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为q，

依题意，有代入a2+a3+a4=28，得 ┉┉ 2分

∴ ∴ 解之得或 ┉┉┉4分

又单调递增，∴ ∴. ┉┉┉┉┉6分

（2）， ┉┉┉┉┉7分

∴ ①

∴ ②┉┉┉┉┉10分

∴①-②得

＝ ┉┉┉12分

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 16 分

某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，

厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层，根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，

两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数。

假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等，（注：玻璃的热传导系

数为，空气的热传导系数为，）

（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，

且，试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过

的热量（结果用，及表示）；

（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？

正确答案

见解析。

解析

（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为，，

则，

。

（2）由（1）知，

当4%时，解得（mm）。

答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%。

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知集合

（1）当=时，求和；

（2）若，求实数的值。

正确答案

见解析

解析

解析：由，

（1）当m=时，，则

；＝R

（2）

则，解得：

此时，符合题意，故实数m的值为8。

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 10 分

在平面直角坐标系中，已知曲线: ，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，直线的直角坐标方程为，

由题意知曲线的直角坐标方程为

∴曲线的参数方程为（为参数）.

（2）设，则点到直线的距离

，

当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，

此时.

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知，设＝。

（1）求的最小正周期和单调递减区间；

（2）设关于的方程=在有两个不相等的实数根，求的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）由f(x)＝·得

f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos＝cos2－sin2－2sincos

＝cosx－sinx＝cos(x＋)，

所以f(x)的最小正周期T＝2π.

又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).

（2）由f(x)＝得cos(x＋)＝，故cos(x＋)＝

又，于是有，数形结合得

＜1

∴＜]

所以的取值范围是[1，）

知识点

诱导公式的推导

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知单位向量与向量的夹角为，则________.

正确答案

答案：1

解析

略

知识点

诱导公式的推导

题型：单选题

单选题 · 5 分

设是定义在R上的偶函数，且时，，若在区间内关于的方程有4个不同的根，则的范围是（）

正确答案

解析

略

知识点

诱导公式的推导

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数, 则

正确答案

解析

略

知识点

诱导公式的推导

题型：填空题

填空题 · 5 分

若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ 。

正确答案

解析

略

知识点

诱导公式的推导

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知复数，则·i在复平面内对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

，实部,虚部，对应点为（,），在第二象限，故选B。

知识点

诱导公式的推导

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