- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望．
正确答案
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
解析
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
益阳市箴言中学学校团委为三个年级提供了“甲、乙、丙、丁”学雷锋的四个不同活动内容，每个年级任选其中一个．求：
（1）三个年级选择3个不同活动内容的概率；
（2）恰有2个活动内容被选择的概率；
（3）选择甲活动内容的年级个数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
解析
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
今年夏季酷暑难熬，某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动，若瓶盖中印有“中奖2元”字样，则可以兑换2元现金，如果这种饮料每瓶成本为2元，投入市场按每瓶3元销售，“中奖2元”综合中奖率为10%．
（1）求甲够买饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率；
（2）若该厂生产这种饮料20万瓶，假设全部售出，则盈利的期望值是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
解析
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；
（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
解析
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
解析
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
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