- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：
所以
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
所以ξ的分布列为
所以
解析
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：
所以
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
所以ξ的分布列为
所以
高一（9）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍惜植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为
（1）第一组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下1粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；
（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下1粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求第二小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，
即：
（2）依题意有，ξ取得所有可能值为1，2，3，4，5
Eξ=
解析
解：（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，
即：
（2）依题意有，ξ取得所有可能值为1，2，3，4，5
Eξ=
为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：
（Ⅰ）请补充完成2×2列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？
（Ⅱ）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望．附：K2=
正确答案
解：（Ⅰ）统计数据如下表：
将表中的数据代入公式，可求得
查表P（K2≥6.635）=0.010．∴有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关．
（Ⅱ）利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名．
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2，3，4．
其中 
所以X的分布列为
故X的数学期望为
另解：X～H（4，4，6），则
解析
解：（Ⅰ）统计数据如下表：
将表中的数据代入公式，可求得
查表P（K2≥6.635）=0.010．∴有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关．
（Ⅱ）利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名．
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2，3，4．
其中
所以X的分布列为
故X的数学期望为
另解：X～H（4，4，6），则
设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2（单位：cm），其分布列为：
求EX1，EX2，DX1，DX2，并分析两门火炮的优劣．
正确答案
解：根据题意，有EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89，
EX2=（82+86.5+90+92.5+94）×0.2=89，
DX1=（82-89）2×0.2+（83-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92-89）2×0.2+（98-89）2×0.2=35.2，
DX2=（82-89）2×0.2+（86.5-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92.5-89）2×0.2+（94-89）2×0.2=18.5．
∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当，
但DX1＞DX2，故乙火炮相对性能较稳定，
则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定．
解析
解：根据题意，有EX1=82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2=89，
EX2=（82+86.5+90+92.5+94）×0.2=89，
DX1=（82-89）2×0.2+（83-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92-89）2×0.2+（98-89）2×0.2=35.2，
DX2=（82-89）2×0.2+（86.5-89）2×0.2+（90-89）2×0.2+（92.5-89）2×0.2+（94-89）2×0.2=18.5．
∵EX1=EX2，故两门火炮的平均性能相当，
但DX1＞DX2，故乙火炮相对性能较稳定，
则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定．
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相互独立，
∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
P甲=0.8×0.85=0.68，
P乙=0.75×0.8=0.6．
（2）由题意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
∴随机变量ξ、η的分布列如下：
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1
解析
解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相互独立，
∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到
P甲=0.8×0.85=0.68，
P乙=0.75×0.8=0.6．
（2）由题意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
∴随机变量ξ、η的分布列如下：
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1
扫码查看完整答案与解析