- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85）之间为良好；在[60，75）之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，
85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）．
正确答案
解：
说明：频率分布表对1个、2个、3个给（1分）；对4个给（2分）．
频率分布直方图对一个给（1分）；对2个给（2分）．
根据抽样，估计该校高一学生中体能素质为优秀的有人 …（6分）
（2）ξ的可能取值为0，1，2．…（7分）P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（8分）
（上述3个对一个给1分）
∴ξ分布列为：
…（12分）
所以，数学期望Eξ=0×+1×+2×=．…（14分）
解析
解：
说明：频率分布表对1个、2个、3个给（1分）；对4个给（2分）．
频率分布直方图对一个给（1分）；对2个给（2分）．
根据抽样，估计该校高一学生中体能素质为优秀的有人 …（6分）
（2）ξ的可能取值为0，1，2．…（7分）P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（8分）
（上述3个对一个给1分）
∴ξ分布列为：
…（12分）
所以，数学期望Eξ=0×+1×+2×=．…（14分）
设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为______．
正确答案
10
解析
解：∵15000件产品中有1000件次品，
从中抽取150件进行检查，
∴查得次品数的数学期望为150×
故答案为10．
在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是
求：（1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率．
（2）（理做）答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目的概率．
正确答案
解：（1）设乙、丙各自答对的概率分别是P1、P2，
根据题意得：
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为 （10分）
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（文科）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，
这四种情况是互斥的，
∴P=+=
解析
解：（1）设乙、丙各自答对的概率分别是P1、P2，
根据题意得：
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为 （10分）
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（文科）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，
这四种情况是互斥的，
∴P=+=
某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率；
（Ⅱ）设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，使用苏教版的10名教师中有6名男教师，4名女教师，若从这15名教师中随机选出3名教师发言，求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）只考虑第一位发言的老师，则P=
（2 ）设选到用苏教版的女教师的人数为X，则X=0，1，2，3
P（X=0）=
选到用苏教版的女教师的人数X的分布列为：
EX=+×2+×3=．
解析
解：（Ⅰ）只考虑第一位发言的老师，则P=
（2 ）设选到用苏教版的女教师的人数为X，则X=0，1，2，3
P（X=0）=
选到用苏教版的女教师的人数X的分布列为：
EX=+×2+×3=．
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
正确答案
解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为 （III）由（II）得E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ）
E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
解析
解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为 （III）由（II）得E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ）
E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
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