- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）
=
（II）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=
故x的分布列
X的数学期望为EX=
解析
解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）
=
（II）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=
故x的分布列
X的数学期望为EX=
（Ⅰ）求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（Ⅱ）若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设①，②处分别为m，n，由
则n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）内的频率为
∴①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，
补全频率分布直方图如图3所示：
图3
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
则ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=．
解析
解：（Ⅰ）设①，②处分别为m，n，由
则n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）内的频率为
∴①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，
补全频率分布直方图如图3所示：
图3
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
则ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=．
设一随机试验的结果只有A和
正确答案
解析
解：Eξ=0×（1-p）+1×p=p，
Dξ=（0-p）2•（1-p）+（1-p）2×p
=p（1-p）．
故选D．
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
正确答案
解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1-0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1-0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1-0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1-0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
解析
解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1-0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1-0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1-0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1-0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
目前，省检查团对某市正在创建“环境优美”示范城市的成果进行验收，主要工作是对辖区内的单位进行验收．
（1）若每个被检单位验收合格的概率为0.9，求3个被检单位中至少有一个不合格的概率．
（2）若从10个候检单位中选两个进行验收，已知其中有三个单位平时不重视，肯定不合格，其余都合格．一检查人员提出方案：若两个单位都合格，则该市被评为“环境优美”示范城市，否则不评为“环境优美”示范城市．根据这一方案，试求两个被检单位中不合格单位的个数ξ的分布列及Eξ，并求该市未评为“环境优美”示范城市的概率．
正确答案
解：（1）记“3个被检单位至少有一个不合格”为事件A，则
P（A）=1-0.93=0.271；
（2）ξ的可能值为：0，1，2．
∴
记该市未评为“环境优美”示范城市为事件B，则：P（B）=1-P（ξ=0）=
解析
解：（1）记“3个被检单位至少有一个不合格”为事件A，则
P（A）=1-0.93=0.271；
（2）ξ的可能值为：0，1，2．
∴
记该市未评为“环境优美”示范城市为事件B，则：P（B）=1-P（ξ=0）=
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