离散型随机变量及其分布列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分布列．

正确答案

解：由题意知X的可能取值是3，4，5，6．

P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）===，P（X=6）===

∴X的分布列为

解析

解：由题意知X的可能取值是3，4，5，6．

P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）===，P（X=6）===

∴X的分布列为

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题型：简答题

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简答题

某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤2，则销售利润为0元；若2＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间T≤2，2＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别是P1，

P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且P2=P3．

（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；

（Ⅱ）记X表示销售两台该种电器的销售利润总和，求X的分布列及期望．

正确答案

解：（1）由已知P1+P2+P3=1，

∵P2=P3，∴P1+2P2=1

∵P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，

∴P1+P2=，

∴P1=，P2=P3=；

（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，

P（X=0）==，

P（X=100）==，

P（X=200）=+=，

P（X=300）=2×=，

P（X=400）==．

∴随机变量X的分布列为

销售利润总和的期望为EX=0×+100×+200×+300×+400×=240元．

解析

解：（1）由已知P1+P2+P3=1，

∵P2=P3，∴P1+2P2=1

∵P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，

∴P1+P2=，

∴P1=，P2=P3=；

（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，

P（X=0）==，

P（X=100）==，

P（X=200）=+=，

P（X=300）=2×=，

P（X=400）==．

∴随机变量X的分布列为

销售利润总和的期望为EX=0×+100×+200×+300×+400×=240元．

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题型：简答题

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简答题

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

正确答案

解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”

B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，

因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

P（A2）=0.003×50=0.15，

P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，

随机变量X的分布列为

因为X～B（3，0.6），

所以期望E（X）=3×0.6=1.8，

方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．

解析

解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”

B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，

因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

P（A2）=0.003×50=0.15，

P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，

随机变量X的分布列为

因为X～B（3，0.6），

所以期望E（X）=3×0.6=1.8，

方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．

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简答题

某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率；

（2）记该技术的兰个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

正确答案

解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+，又ABC与为互斥事件，且A，B，C相互独立．

∴P（ABC+）=P（ABC）+P（）=P（A）P（B）P（C）+P（A）PP（C）

==．

（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．

P（ξ=0）==P（）=．

P（ξ=1）=P++==．

P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=，

∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=．

∴ξ的分布列为：

∴Eξ==．

解析

解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+，又ABC与为互斥事件，且A，B，C相互独立．

∴P（ABC+）=P（ABC）+P（）=P（A）P（B）P（C）+P（A）PP（C）

==．

（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．

P（ξ=0）==P（）=．

P（ξ=1）=P++==．

P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=，

∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=．

∴ξ的分布列为：

∴Eξ==．

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简答题

有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，甲拿红色骰子随机投掷两次所得点数和记为ξ1，乙拿蓝色骰子随机投掷两次所得点数和记为ξ2，规定所得点数和较大者获胜．

（1）分别写出ξ1和ξ2的分布列（不要求写过程），并求Eξ1及Eξ2；

（2）问甲获胜的概率大还是乙获胜的概率大，并说明理由．

正确答案

解：（1）ξ1的分布如下：

Eξ1==8

ξ2的其分布如下：

Eξ2==8

（2）∵，

乙能获胜的概率是=

∵

∴甲获胜的概率大．

解析

解：（1）ξ1的分布如下：

Eξ1==8

ξ2的其分布如下：

Eξ2==8

（2）∵，

乙能获胜的概率是=

∵

∴甲获胜的概率大．

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