- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号．从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球．求：
（1）取出的3个小球都是0号的概率；
（2）取出的3个小球号码之积是4的概率；
（3）取出的3个小球号码之积的分布列．
正确答案
解：（1）欲使取出3个小球都为0号，则必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球
中取出另外2个0号小球．
记A表示取出3个0号球则有：
（2）取出3个小球号码之积是4的情况有：
情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号； 情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号
记B表示取出3个小球号码之积为4，则有：P（B）=
（3）取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8
设X表示取出小球的号码之积，则有：
P（X=0）=
P（X=4）=
所以分布列为：
解析
解：（1）欲使取出3个小球都为0号，则必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球
中取出另外2个0号小球．
记A表示取出3个0号球则有：
（2）取出3个小球号码之积是4的情况有：
情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号； 情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号
记B表示取出3个小球号码之积为4，则有：P（B）=
（3）取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8
设X表示取出小球的号码之积，则有：
P（X=0）=
P（X=4）=
所以分布列为：
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
正确答案
解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1-0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，-45，-145…（6分）
故ξ的分布列为
…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%-2%-p）+（-45）×2%+（-145）×p=2.5-90%-145p…（11分）
所以当1.6-145p＞0时，即
所以当
解析
解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1-0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，-45，-145…（6分）
故ξ的分布列为
…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%-2%-p）+（-45）×2%+（-145）×p=2.5-90%-145p…（11分）
所以当1.6-145p＞0时，即
所以当
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示
（2）平均分为
（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则
所以ξ的分布列为：
∴
解析
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示
（2）平均分为
（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则
所以ξ的分布列为：
∴
（Ⅰ）求m的值并求星期日运动时间在[90，120]内的概率
（Ⅱ）若在第一组，第二组，第七组，第八组中共抽取3人调查影响星期日运动时间的原因，记抽到的“星期日运动时间少于60分钟”的学生人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（
∴m×
∴m=100
∴星期日运动时间在[90，120]内的概率为1-（
（Ⅱ）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人．
则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=i）=
ξ的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（
∴m×
∴m=100
∴星期日运动时间在[90，120]内的概率为1-（
（Ⅱ）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人．
则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=i）=
ξ的分布列为：
EX=0×+1×+2×+3×=．
在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答．
（Ⅰ）不放回的抽取试题，求恰好在第三次抽到判断题的概率；
（Ⅱ）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ 的概率分布及ξ 的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故恰好在第三次抽到判断题的概率为
（Ⅱ）∵有8道试题，其中6道选择题和2道判断题，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答，有放回的抽取，
∴抽到的试题数ξ～B（3，0.25）
∴P（ξ=k）=C3k×0.25k×0.753-k（k=0，1，2，3）
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故恰好在第三次抽到判断题的概率为
（Ⅱ）∵有8道试题，其中6道选择题和2道判断题，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答，有放回的抽取，
∴抽到的试题数ξ～B（3，0.25）
∴P（ξ=k）=C3k×0.25k×0.753-k（k=0，1，2，3）
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．
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