离散型随机变量及其分布列
共3480题

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离散型随机变量及其分布列
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题型：简答题

简答题

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．

（1）求3人中恰有1名女生的概率；

（2）求3人中至少有1名男生的概率；

（3）求“所选3人中男生人数ξ的数学期望．

正确答案

解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数C63=20，

3人中恰有1名女生的事件数是C21C42=12

∴3人中恰有1名女生的概率是

（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数C63=20，

3人中至少有1名男生是一个必然事件

∴3人中至少有1名男生的概率是1．

（3）由题意知所选的三人中男生数是1，2，3

P（ξ=1）=，

P（ξ=2）=

P（ξ=3）=，

∴Eξ==2

解析

解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数C63=20，

3人中恰有1名女生的事件数是C21C42=12

∴3人中恰有1名女生的概率是

（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件数C63=20，

3人中至少有1名男生是一个必然事件

∴3人中至少有1名男生的概率是1．

（3）由题意知所选的三人中男生数是1，2，3

P（ξ=1）=，

P（ξ=2）=

P（ξ=3）=，

∴Eξ==2

题型：简答题

简答题

甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人面试合格的概率；

（2）求签约人数的期望和方差．

正确答案

解：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”事件则

三人都不合格的概率

∴至少有一人合格的概率（4分）

（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3

∴

分布列

∴

（12分）

解析

解：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”事件则

三人都不合格的概率

∴至少有一人合格的概率（4分）

（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3

∴

分布列

∴

（12分）

题型：简答题

简答题

某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：

根据上表信息解答以下问题：

（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；

（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．

正确答案

解：（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则

=，…（5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为…（6分）

（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3．

则，…（7分），…（8分）

，…（9分）

．…（10分）

从而X的分布列为：

故X的数学期望．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则

=，…（5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为…（6分）

（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3．

则，…（7分），…（8分）

，…（9分）

．…（10分）

从而X的分布列为：

故X的数学期望．…（12分）

题型：简答题

简答题

一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．

（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；

（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

正确答案

解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==

∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；

（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则

P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==

∴随机变量X的分布列为：

∴E（X）=1×+2×+3×=．

解析

解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==

∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；

（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则

P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==

∴随机变量X的分布列为：

∴E（X）=1×+2×+3×=．

题型：简答题

简答题

第4届湘台经贸洽谈交流会于2011年6月在我市举行，为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

正确答案

解：（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，

所以选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人．

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，

则它的对立事件A¯表示“没有一名“高个子”被选中”，

则P（A）=1-=．

因此，至少有一人是“高个子”的概率是．

（Ⅱ）依题意，X的取值为0，1，2，3．　　　　　　　　　　

P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=2）==，P（X=3）==．

因此，X的分布列如下：

∴EX=0×+1×+2×+3×=1．

解析

解：（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，

所以选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人．

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，

则它的对立事件A¯表示“没有一名“高个子”被选中”，

则P（A）=1-=．

因此，至少有一人是“高个子”的概率是．

（Ⅱ）依题意，X的取值为0，1，2，3．　　　　　　　　　　

P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=2）==，P（X=3）==．

因此，X的分布列如下：

∴EX=0×+1×+2×+3×=1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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