- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x-2），x-y），记ξ=|
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）2+（x-y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=
故随机变量ξ的分布列为：
因此数学期望Eξ==2
解析
解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）2+（x-y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=
故随机变量ξ的分布列为：
因此数学期望Eξ==2
为了解甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：mg）下表是乙厂的5件产品测量数据
①已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
②当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：①设乙厂生产的产品数量为m件，由分层抽样的方法可得
②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75．估计乙厂生产的优质品的数量=
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有
P（ξ=0）=
可得ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ==1.2．
解析
解：①设乙厂生产的产品数量为m件，由分层抽样的方法可得
②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75．估计乙厂生产的优质品的数量=
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有
P（ξ=0）=
可得ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ==1.2．
下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．
（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；
（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3”，求事件M发生的概率；
（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记ξ为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75ug/m3的天数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：
A2、A3、A5、A9、A10共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=
（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3，有编号为A2、A9、A10，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M发生的概率P（M）=
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故ξ的分布列为：
--------------------------------------------------------（11分）
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．-------------------------------------（12分）
解析
解：（1）由表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：
A2、A3、A5、A9、A10共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=
（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3，有编号为A2、A9、A10，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M发生的概率P（M）=
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故ξ的分布列为：
--------------------------------------------------------（11分）
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．-------------------------------------（12分）
已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是
∴S=
∵S+m=1，
∴m=
故选C．
某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；
（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．
正确答案
解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．
（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有
这两名学生来自同一所中学的取法共有
∴
∴从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
解析
解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．
（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有
这两名学生来自同一所中学的取法共有
∴
∴从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
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