- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
暗箱中开始有3个红球，2个白球．每次从暗箱中取出一球后，将此球以及与它同色的5个球（共六个球）一齐放回暗箱中．
（1）求第二次取出红球的概率
（2）求第三次取出白球的概率；
（3）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的期望值．
正确答案
解：设第n次取出白球的概率为Pn，第n次取出红球的概率为Qn，
（1）第二次取出红球的概率Q2=
（2）三次取的过程共有下列情况：
白白白，白红白，红白白，红红白，
第三次取出白球的概率
P3=
+
（5分）（每项1分）
（3）连续取球3次，得分的情况共有
5+5+5，5+8+5，8+5+5，8+8+5，5+5+8，5+8+8，8+5+8，8+8+8
列表如下：
得分期望x=15´+18´+21´+24´=（4分）
解析
解：设第n次取出白球的概率为Pn，第n次取出红球的概率为Qn，
（1）第二次取出红球的概率Q2=
（2）三次取的过程共有下列情况：
白白白，白红白，红白白，红红白，
第三次取出白球的概率
P3=
+
（5分）（每项1分）
（3）连续取球3次，得分的情况共有
5+5+5，5+8+5，8+5+5，8+8+5，5+5+8，5+8+8，8+5+8，8+8+8
列表如下：
得分期望x=15´+18´+21´+24´=（4分）
某学校举行定点投篮考试，规定每人最多投篮4次，一旦某次投篮命中，便可得到满分，不再继续以后的投篮，否则一直投到第4次为止．如果李明同学参加这次测试，设他每次定点投篮命中的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．
（I）求他在本次测试中投篮次数ξ的概率分布和数学期望；
（II）求他在本次测试中得到满分的概率．
正确答案
解：（I）投篮次数ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）=0.6；P（ξ=2）=0.4×0.7=0.28；P（ξ=3）=0.4×0.3×0.8=0.096；P（ξ=4）=0.4×0.3×0.2=0.024
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544；
（II）记在本次测试中得到满分为事件A，则
P（A）=0.6+0.4×0.7+0.4×0.3×0.8+0.4×0.3×0.2×0.9=0.9976．
解析
解：（I）投篮次数ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）=0.6；P（ξ=2）=0.4×0.7=0.28；P（ξ=3）=0.4×0.3×0.8=0.096；P（ξ=4）=0.4×0.3×0.2=0.024
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544；
（II）记在本次测试中得到满分为事件A，则
P（A）=0.6+0.4×0.7+0.4×0.3×0.8+0.4×0.3×0.2×0.9=0.9976．
（1）请补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（2）从年龄在[40，50）岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取18人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．
正确答案
解：（1）在第一组年龄[25，30）的人数为
考查第四组得到
∴200+
故第三组的频率为
根据以上数据即可得到频率分布直方图：
（2）由分层抽样的计算公式可知：在第四组与第五组抽取的人数分别为
选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数X所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
解析
解：（1）在第一组年龄[25，30）的人数为
考查第四组得到
∴200+
故第三组的频率为
根据以上数据即可得到频率分布直方图：
（2）由分层抽样的计算公式可知：在第四组与第五组抽取的人数分别为
选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数X所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
若ξ的分布列为：
其中p∈（0，1），则Eξ=______，Dξ=______．
正确答案
q，
pq
解析
解：Eξ=0×p+1×q=q
Dξ=（0-q）2×p+（1-q）2×q=pq
故答案为：q；pq．
附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）．
（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？
（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．
正确答案
解：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；
若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；
若三瓶口味一样，有8种．
所以小明共有56+56+8=120种选择． （4分）
（2）ξ的取值为0，1，2，3．
所以ξ的分布列为 （8分）
其数学期望．（10分）
解析
解：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；
若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；
若三瓶口味一样，有8种．
所以小明共有56+56+8=120种选择． （4分）
（2）ξ的取值为0，1，2，3．
所以ξ的分布列为 （8分）
其数学期望．（10分）
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