离散型随机变量及其分布列
共3480题

离散型随机变量及其分布列
共3480题

热门试卷

题型：简答题

简答题

某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则每台销售利润为0元；若1＜T≤3，则每台销售利润为100元；若T＞3，则每台销售利润为200元．设每台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程10x2-6x+a=0的两个根，且P2=P3．

（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；

（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出ξ的所有结果，并求ξ的分布列；

（Ⅲ）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵p1，p2是方程10x2-6x+a=0的两个根，∴p1+p2=，

又∵P1+P2+P3=1，且P2=P3，

∴=，．

（Ⅱ）记一台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3分别为事件A1，A2，A3，

ξ的取值有0，100，200，300，400，

P（ξ=0）=P（A1A1）==，

P（ξ=100）=P（A1A2∪A2A1）==，

P（ξ=200）=P（A2A2+A3A1+A1A3）

==，

P（ξ=300）=P（A1A3+A3A1）==，

P（ξ=400）=P（A3A3）==，

∴ξ的分布列为：

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

Eξ==240．

∴销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值240．

解析

解：（Ⅰ）∵p1，p2是方程10x2-6x+a=0的两个根，∴p1+p2=，

又∵P1+P2+P3=1，且P2=P3，

∴=，．

（Ⅱ）记一台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3分别为事件A1，A2，A3，

ξ的取值有0，100，200，300，400，

P（ξ=0）=P（A1A1）==，

P（ξ=100）=P（A1A2∪A2A1）==，

P（ξ=200）=P（A2A2+A3A1+A1A3）

==，

P（ξ=300）=P（A1A3+A3A1）==，

P（ξ=400）=P（A3A3）==，

∴ξ的分布列为：

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

Eξ==240．

∴销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值240．

题型：简答题

简答题

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．

（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

正确答案

解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，

由于乙队中3人答对的概率分别为，，，

P（ξ=0）=（1-）×（1-）×（1-）=，

P（ξ=10）=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×==，

P（ξ=20）=××（1-）+（1-）××+×（1-）×==，

P（ξ=30）=××=，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．

（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．

又P（A）==，P（B）=××=，

则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为

P（A+B）=P（A）+P（B）==．

解析

解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，

由于乙队中3人答对的概率分别为，，，

P（ξ=0）=（1-）×（1-）×（1-）=，

P（ξ=10）=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×==，

P（ξ=20）=××（1-）+（1-）××+×（1-）×==，

P（ξ=30）=××=，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．

（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．

又P（A）==，P（B）=××=，

则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为

P（A+B）=P（A）+P（B）==．

题型：填空题

填空题

口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是______．

正确答案

解析

解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．

随机地取出两个球，共有：=15种，

∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，

∴随机变量X的分布列为

故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为______．

正确答案

解析

解：从袋中10个球中任取4个球，共有种取法，则其中恰有3个红球的取法为．

∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P==．

故答案为．

题型：简答题

简答题

有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，

（Ⅰ）求“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率．

（Ⅱ）所要测试的次数ξ为随机变量，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

正确答案

解：（Ⅰ）解法一：

设事件A=“第二次测出的电池没电”，

B=“第三次测出的电池也没电”，

则，

，（2分）

所以．（4分）

解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，

则（4分）

（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，

，

，（8分）

∴分布列为

（10分）

．（12分）

解析

解：（Ⅰ）解法一：

设事件A=“第二次测出的电池没电”，

B=“第三次测出的电池也没电”，

则，

，（2分）

所以．（4分）

解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，

则（4分）

（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，

，

，（8分）

∴分布列为

（10分）

．（12分）

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