- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，
则：P（A1）=
∴P（A）=
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）
解析
解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，
则：P（A1）=
∴P（A）=
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）
（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，
使得途中发生堵车事件的概率较小；
（2）若记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．
正确答案
解：（1）根据题意得出：A-C-B堵车的概率为：P1=1-（1-
A-D-B堵车的概率为：P2=1-（1-
∵
∴
∴A-C-B堵车的概率小，
（2）∵记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
Eξ=0×=
解析
解：（1）根据题意得出：A-C-B堵车的概率为：P1=1-（1-
A-D-B堵车的概率为：P2=1-（1-
∵
∴
∴A-C-B堵车的概率小，
（2）∵记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
Eξ=0×=
（I）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）学校决定对参加社区服务的这M名学生进行表彰，对参加活动次数在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）区间的学生依次发放价值80元，60元、40元、20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
正确答案
解：（I）由题设知
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]组的频率与组距之比a为0.12．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=
P（X=20）=
P（X=40）=
P（X=60）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×=．
解析
解：（I）由题设知
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]组的频率与组距之比a为0.12．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=
P（X=20）=
P（X=40）=
P（X=60）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×=．
随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，若
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∵a+b+c=1，
Eξ=-1×a+1×c=c-a=
联立三式得a=
故选D．
（1）请在如图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
（2）要从4名语文成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值．
正确答案
b=
故这些数据的回归方程是：
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2． …（7分）
P（X=0）=
故X的分布列为：
…（11分）
∴E（X）=0×+1×+2×=1． …（12分）
解析
b=
故这些数据的回归方程是：
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2． …（7分）
P（X=0）=
故X的分布列为：
…（11分）
∴E（X）=0×+1×+2×=1． …（12分）
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