离散型随机变量及其分布列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

某校要组建校篮球队，需要在各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中至少4次则可入围，否则被淘汰．已知某班小王每次投篮投中的概率为，各次投篮相互之间没有影响．

（1）求小王投5次篮后才确定入围的概率；

（2）若规定每人连续两次投篮不中，则停止投篮，求小王投篮次数X的分布列和数学期望．

正确答案

解：（1）记“小王投5次篮才能入围”为事件C，

则P（C）==．

（2）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，

P（X=2）==，

P（X=3）=，

P（X=4）==，

P（X=5）=+=．

∴X的分布列为：

∴EX=2×+3×+4×+5×=．

解析

解：（1）记“小王投5次篮才能入围”为事件C，

则P（C）==．

（2）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，

P（X=2）==，

P（X=3）=，

P（X=4）==，

P（X=5）=+=．

∴X的分布列为：

∴EX=2×+3×+4×+5×=．

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题型：简答题

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简答题

为提高学生的素质，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的，现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习．

（1）求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；

（2）记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ的分布列及数学期望．

正确答案

解：（1）∵甲、乙、丙三人选择的科目所属类别互不相同的情况有A33=6种，

∴他们选择的科目所属类别互不相同的概率p=6×=．

（2）设η为3人中选择的科目属于艺术的人数，则η～B（3，），

由题设知ξ=3-η，

则P（ξ=k）=P（η=3-k）=，

∴ξ人分布列是

Eξ=3-Eη=3-3×=．

解析

解：（1）∵甲、乙、丙三人选择的科目所属类别互不相同的情况有A33=6种，

∴他们选择的科目所属类别互不相同的概率p=6×=．

（2）设η为3人中选择的科目属于艺术的人数，则η～B（3，），

由题设知ξ=3-η，

则P（ξ=k）=P（η=3-k）=，

∴ξ人分布列是

Eξ=3-Eη=3-3×=．

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题型：简答题

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简答题

某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1

（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节），请由统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．

（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．

①求至少有一节为C模式课堂的概率；

②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．

参考临界值表：

正确答案

解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：

K2==9＞6.635

由临界值表P（k2≥6.635）≈0.010，

故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关 …．（3分）

（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．

事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”．

则P（M）==…．（6分）

②X的所有取值为0，1，2，3．

P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=2）==，P（X=3）==．

所以随机变量X的分布列为

…．（10分）

所以E（X）=0×+1×+2×+3×=1…．（12分）

解析

解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：

K2==9＞6.635

由临界值表P（k2≥6.635）≈0.010，

故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关 …．（3分）

（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．

事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”．

则P（M）==…．（6分）

②X的所有取值为0，1，2，3．

P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=2）==，P（X=3）==．

所以随机变量X的分布列为

…．（10分）

所以E（X）=0×+1×+2×+3×=1…．（12分）

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题型：简答题

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简答题

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为；向乙靶射击一次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试，若两次命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试

（1）求该射手通过测试的概率

（2）求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．

正确答案

解：（1）设向甲射击第一次命中为事件A1，第二次命中为事件A2，向乙射击一次命中为事件B，

则P（A1）=P（A2）=，P（B）=，

则P（）=P（）=，P（）=，

若该射手通过测试，则对应的事件为A1A2+AB+AB，

则对应的概率为P（A1A2+AB+AB）=P（A1）P（A2）+P（）P（A）P（B）+p（A）P（）P（B）

=×+××+××=，

即该射手通过测试的概率为．

（2）由题意知X=0，1，2，

当X=0，说明三次都没有命中，对应的概率P（X=0）=（1-）2=，

当X=1，对应的概率P（X=1）=C=，

当X=2，说明射击甲两次命中2次，同时乙没有命中或者射击甲两次命中一次，射击乙命中，

对应的概率P（X=2）=×+××+××=．

则对应的分布列为：

EX=0×+1×+2×=

解析

解：（1）设向甲射击第一次命中为事件A1，第二次命中为事件A2，向乙射击一次命中为事件B，

则P（A1）=P（A2）=，P（B）=，

则P（）=P（）=，P（）=，

若该射手通过测试，则对应的事件为A1A2+AB+AB，

则对应的概率为P（A1A2+AB+AB）=P（A1）P（A2）+P（）P（A）P（B）+p（A）P（）P（B）

=×+××+××=，

即该射手通过测试的概率为．

（2）由题意知X=0，1，2，

当X=0，说明三次都没有命中，对应的概率P（X=0）=（1-）2=，

当X=1，对应的概率P（X=1）=C=，

当X=2，说明射击甲两次命中2次，同时乙没有命中或者射击甲两次命中一次，射击乙命中，

对应的概率P（X=2）=×+××+××=．

则对应的分布列为：

EX=0×+1×+2×=

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题型：简答题

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简答题

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．

（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入A袋中的小球个数为ξ，试求ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

正确答案

解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故． …（5分）

（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而． …（8分）

显然，ξ的取值为0、1、2，且；；．ξ的分布列为

故．…（12分）

（或由随机变量，故．）

解析

解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故． …（5分）

（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而． …（8分）

显然，ξ的取值为0、1、2，且；；．ξ的分布列为

故．…（12分）

（或由随机变量，故．）

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