离散型随机变量及其分布列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）山水城市镇江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；

（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．

正确答案

解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，

P（ξ=1）=+=2=，

P（ξ=3）=+=2=，

ξ的分布列为：

所以Eξ=1×+3×=．

（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，

ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．

P（ξ=1）=+=2×；

P（ξ=3）=+=；

…

P（ξ=2k+1）=+=2×，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×

=2×{[（2k+1）+2k+（2k-1）+…+（2k+1-k）]-[（0×+1+2×+…+]}

=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k-1）×+…+（k+1）]-[0×+1×+…+]}，

∵=n（i=1，2，3，…，n），

Eξ=2×{（2k+1）×[]-（2k+1）×[]}

=2××（2k+1）×[（）-（+）]

=2××（2k+1）×

=．

答：ξ的数学期望Eξ为．

解析

解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，

P（ξ=1）=+=2=，

P（ξ=3）=+=2=，

ξ的分布列为：

所以Eξ=1×+3×=．

（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，

ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．

P（ξ=1）=+=2×；

P（ξ=3）=+=；

…

P（ξ=2k+1）=+=2×，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×

=2×{[（2k+1）+2k+（2k-1）+…+（2k+1-k）]-[（0×+1+2×+…+]}

=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k-1）×+…+（k+1）]-[0×+1×+…+]}，

∵=n（i=1，2，3，…，n），

Eξ=2×{（2k+1）×[]-（2k+1）×[]}

=2××（2k+1）×[（）-（+）]

=2××（2k+1）×

=．

答：ξ的数学期望Eξ为．

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题型：填空题

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填空题

二项式（1+x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，从a0，a1，a2，…，a9中任取两个数，记ξ为这两个数中较小的一个，则数学期望Eξ=______．

正确答案

解析

解：由题意知这十个数字分别是1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，

∴ξ的可能取值是1，9，36，84，126

∴P（ξ=1）=

P（ξ=9）=

P（ξ=36）=

P（ξ=84）=

P（ξ=126）=

∴Eξ==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．

（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；

（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望Eξ，并以此测算x至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？

正确答案

解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，

则P（A）=1-=．

即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．

（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，

P（ξ=0）=（1-）（1-）（1-）=，

P（ξ=x）==，

P（ξ=2x）==，

P（ξ=3x）==，

∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×+x×+2x×+3x×=，

设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则≤180，解得x≤120，

即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．

解析

解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，

则P（A）=1-=．

即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．

（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，

P（ξ=0）=（1-）（1-）（1-）=，

P（ξ=x）==，

P（ξ=2x）==，

P（ξ=3x）==，

∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×+x×+2x×+3x×=，

设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则≤180，解得x≤120，

即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．

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题型：简答题

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简答题

.有6只电子元件，其中4只正品，两只次品，每次随机抽取一只检验，不论是正品还是次品都不放回，直到两只次品都抽到为止．

（1）求测试4次抽到两只次品的概率；

（2）求2只次品都找到的测试次数ξ的分布列和期望．

正确答案

解：（1）设“测试4次抽到两只次品”为事件A，则抽4次不放回共有种方法，其中前3次中只有一次抽到次品且第四次抽到第二只次品的方法为种方法，

因此P（A）==；

（2）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，5．

则P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=，p（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=．

∴2只次品都找到的测试次数ξ的分布列如表格，

∴Eξ==．

解析

解：（1）设“测试4次抽到两只次品”为事件A，则抽4次不放回共有种方法，其中前3次中只有一次抽到次品且第四次抽到第二只次品的方法为种方法，

因此P（A）==；

（2）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，5．

则P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=，p（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=．

∴2只次品都找到的测试次数ξ的分布列如表格，

∴Eξ==．

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题型：简答题

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简答题

已知方程x2+ax+b=0，a，b为常数．

（Ⅰ）若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求方程的解的个数ξ的期望；

（Ⅱ）若a，b在[0，2]内等可能取值，求此方程有实根的概率．

正确答案

解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，

∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．

当方程x2+ax+b=0没有解时，即△=a2-4b＜0，此时a、b的取值情况有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件数为8．

当方程x2+ax+b=0有一解时，即△=a2-4b=0，此时a、b的取值情况有（0，0），（2，1），包含的基本事件数为2．

当方程x2+ax+b=0有两解时，即△=a2-4b＞0，此时a、b的取值情况有（1，0），（2，0），包含的基本事件数为2．

由题意知用随机变量ξ表示方程x2+ax+b=0实根的个数，所以得到ξ=0，1，2

所以=，=，=，

∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望为．

（2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，2]中任取一个数

则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×2=4，

设“方程x2+ax+b=0有实根”为事件A，

则事件A构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a2-4b≥0}，由积分公式可得其面积SM=．

由几何概型的概率计算公式可得：方程有实根的概率P（A）=．

解析

解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，

∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．

当方程x2+ax+b=0没有解时，即△=a2-4b＜0，此时a、b的取值情况有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件数为8．

当方程x2+ax+b=0有一解时，即△=a2-4b=0，此时a、b的取值情况有（0，0），（2，1），包含的基本事件数为2．

当方程x2+ax+b=0有两解时，即△=a2-4b＞0，此时a、b的取值情况有（1，0），（2，0），包含的基本事件数为2．

由题意知用随机变量ξ表示方程x2+ax+b=0实根的个数，所以得到ξ=0，1，2

所以=，=，=，

∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望为．

（2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，2]中任取一个数

则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×2=4，

设“方程x2+ax+b=0有实根”为事件A，

则事件A构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a2-4b≥0}，由积分公式可得其面积SM=．

由几何概型的概率计算公式可得：方程有实根的概率P（A）=．

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