- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
一个口袋中装有2个白球和n个红球（n≥2且n∈n*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（Ⅰ） 摸球一次，若中奖概率为
（Ⅱ） 若n=3，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望．
正确答案
解：（I）一次摸球从n+2个球中任选两个，有Cn+22种选法，其中两球颜色相同有Cn2+C22种选法；
一次摸球中奖的概率P=
由
（II）由题意知若n=3，则每次摸球中奖的概率为p=
所以ξ的期望为Eξ=n×p=
解析
解：（I）一次摸球从n+2个球中任选两个，有Cn+22种选法，其中两球颜色相同有Cn2+C22种选法；
一次摸球中奖的概率P=
由
（II）由题意知若n=3，则每次摸球中奖的概率为p=
所以ξ的期望为Eξ=n×p=
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=
（2）两向量数量积的所有可能情形有-2，-1，0，1
X=-2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=-1时，有10种情形
X的分布列为：
EX==
解析
解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=
（2）两向量数量积的所有可能情形有-2，-1，0，1
X=-2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=-1时，有10种情形
X的分布列为：
EX==
设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：
则q=______．
正确答案
解析
解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，
0.5+1-
0≤1-
q2≤1③
∴解一元二次方程得q=
而1代入②③不合题意，舍去，
故答案为：
某校高三数学理科组有10名教师，其中4名女老师；文科组有5位老师，其中3位女老师．现在采取分层抽样的方法（层内采用不放回简单随机抽样）从文、理两科中抽取3名教师进行“标、纲、题”测试．
（1）求从文、理两科各抽取的人数．
（2）求从理科组抽取的教师中恰有1名女教师的概率．
（3）记ξ表示抽取的3名教师中男教师人数，求ξ的概率分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）由于理科有10名教师，文科组有5名教师，抽样比为2：1，所以从理科组抽取2名教师，文科组抽取1名教师．…（2分）
（2）记A为事件：从理科组抽取的教师中恰有1名女教师，
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，求得
…（11分）
∴…（13分）
解析
解：（1）由于理科有10名教师，文科组有5名教师，抽样比为2：1，所以从理科组抽取2名教师，文科组抽取1名教师．…（2分）
（2）记A为事件：从理科组抽取的教师中恰有1名女教师，
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，求得
…（11分）
∴…（13分）
一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列．
正确答案
解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，
红球个数为4n，盒中球的总数为7n．
由题意知，从该盒中随机取出一球，这个球可能是红色或绿色或黄色的，
∴随机取出一球所得分数ξ的可能取值是-1，0，1，
根据等可能事件的概率得到，
∴
∴从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为：
解析
解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，
红球个数为4n，盒中球的总数为7n．
由题意知，从该盒中随机取出一球，这个球可能是红色或绿色或黄色的，
∴随机取出一球所得分数ξ的可能取值是-1，0，1，
根据等可能事件的概率得到，
∴
∴从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为：
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