- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某商家举办购物抽奖活动，盒中有大小相同的9张卡片，其中三张标有数字1，两张标有数字0，四张标有数字-1，先从中任取三张卡片，将卡片上的数字相加，设数字和为n，当n＞0时，奖励奖金10n元；当n≤0，无奖励．
（1）求取出的三个数字中恰有一个-1的概率．
（2）设x为奖金金额，求x的分布列和期望．
正确答案
解：（1）设“取出的三个数字中恰有一个-1”为事件A，由题意知是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从9张卡片中取三个，共有C93种结果，而事件A是取到只有一个-1，共有C41C52，
则P（A）=
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率计算与（1）解释同理．
①任取三张卡片都是-1，或任取三张卡片中两张是-1、一张是0，或任取三张卡片中两张是-1、一张是1，
任取三张卡片中两张是0、一张是-1，或任取三张卡片中以张是-1、一张是0、一张是1，
则P（X=0）=
②任取三张卡片中两张是1、一张是-1，或任取三张卡片中两张是0、一张是1，
则P（X=10）=
③任取三张卡片中两张是1、一张是0，则P（X=20）=
④任取三张卡片都是1，则P（X=30）=
∴X的分布列为：
∴EX=0+10×+20×+30×=．
解析
解：（1）设“取出的三个数字中恰有一个-1”为事件A，由题意知是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从9张卡片中取三个，共有C93种结果，而事件A是取到只有一个-1，共有C41C52，
则P（A）=
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率计算与（1）解释同理．
①任取三张卡片都是-1，或任取三张卡片中两张是-1、一张是0，或任取三张卡片中两张是-1、一张是1，
任取三张卡片中两张是0、一张是-1，或任取三张卡片中以张是-1、一张是0、一张是1，
则P（X=0）=
②任取三张卡片中两张是1、一张是-1，或任取三张卡片中两张是0、一张是1，
则P（X=10）=
③任取三张卡片中两张是1、一张是0，则P（X=20）=
④任取三张卡片都是1，则P（X=30）=
∴X的分布列为：
∴EX=0+10×+20×+30×=．
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（Ⅲ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
这50路段为中度拥堵的有18个． …（3分）
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
事件B“至少一个路段严重拥堵”，则P（
P（B）=1-P（
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…（8分）
（III）设此人所用时间为X分钟，X分布列如下表：
EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
这50路段为中度拥堵的有18个． …（3分）
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
事件B“至少一个路段严重拥堵”，则P（
P（B）=1-P（
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…（8分）
（III）设此人所用时间为X分钟，X分布列如下表：
EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．…（13分）
6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（ ）
正确答案
解析
解：因为随机变量为一个变量，
A、取到产品是必然事件，故本选项不正确；
B、取到正品是随机事件，故本选项正确；
而C、D中概率是数值，不是随机变量．
故选B．
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率．
正确答案
解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3个白球．…（5分）
（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
所以
所以ξ的分布列为：
…（12分）
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，
由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，
∴…（16分）
解析
解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3个白球．…（5分）
（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
所以
所以ξ的分布列为：
…（12分）
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，
由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，
∴…（16分）
国家对空气质量的分级规定如下表：
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX．
正确答案
解：（I）由某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据表知，
（Ⅱ）由题意，该市6月份空气质量为优或良的概率为P=
∴X的分布列为：
…．（11分）
∵X～B（4，），
∴．…．（13分）
解析
解：（I）由某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据表知，
（Ⅱ）由题意，该市6月份空气质量为优或良的概率为P=
∴X的分布列为：
…．（11分）
∵X～B（4，），
∴．…．（13分）
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