- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．
正确答案
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是C3KC73-K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，“恰好2个红球”为事件A2，
“恰好3个红球”为事件A3；由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
解析
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是C3KC73-K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，“恰好2个红球”为事件A2，
“恰好3个红球”为事件A3；由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队取胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互没有影响．求：
（1）甲队3：0获胜的概率；
（2）设本场比赛结束所需的比赛局数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
正确答案
解：（1）∵甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束．
∴P=
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
∴ξ的分布列为：
解析
解：（1）∵甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束．
∴P=
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
∴ξ的分布列为：
申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次．设X表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X的概率分布如下：
（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；
（Ⅱ）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y=100X+30（单位：元），求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次．
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．
因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.66
所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.66．
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为
P（ξ=0）=
P（ξ=3
ξ的分布列为
解析
解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次．
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．
因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.66
所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.66．
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为
P（ξ=0）=
P（ξ=3
ξ的分布列为
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．
正确答案
（共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s12＞s22．…（4分）
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以 
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，
P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，
P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，
P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．
所以X的分布列为
…（11分）
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）
解析
（共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s12＞s22．…（4分）
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，
P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，
P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，
P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．
所以X的分布列为
…（11分）
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）
在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．
（1）求这2人来自同一区域的概率；
（2）若这2人来自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）=
所以这2人来自同一区域的概率是
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列是：
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×= …（12分）
解析
解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）=
所以这2人来自同一区域的概率是
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列是：
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×= …（12分）
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