- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
学校体育节拟举行一项趣味运动比赛，选手进入正赛前通过“海选”，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛人数，则优选考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲同学通过项目A、B、C测试的概率分别为
（1）若甲同学先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由．
（2）若甲同学按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为P1，第二项能通过的概率为P2，第三项能通过的概率为P3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用P1P2P3表示）；试说明甲同学按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．
正确答案
解：（1）依题意，甲同学不能通过海选的概率为（1-
∴甲同学能通过海选的概率为1-
若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率为（1-
（2）ξ的可能取值为1，2，3
P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1-p1）p2，P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）p2
∴ξ的分布列为
∴Eξ=p1+2（1-p1）p2+3（1-p1）（1-p2）p2，
∵参加海选测试次数少的选手进入正赛，
∴该同学选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试时，Eξ最小．
解析
解：（1）依题意，甲同学不能通过海选的概率为（1-
∴甲同学能通过海选的概率为1-
若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率为（1-
（2）ξ的可能取值为1，2，3
P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1-p1）p2，P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）p2
∴ξ的分布列为
∴Eξ=p1+2（1-p1）p2+3（1-p1）（1-p2）p2，
∵参加海选测试次数少的选手进入正赛，
∴该同学选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试时，Eξ最小．
在一次人才招聘会上，有A，B，C三种不同的技工面向社会招聘，已知某技术人员应聘A，B，C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2（允许技工人员同时被多种技工录用）．
（1）求该技术人员被录用的概率；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）该技术人员被录用的概率是
P=1-（1-0.8）×（1-0.5）×（1-0.2）=1-0.2×0.5×0.8=0.92；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，
则被录用的工种数是0、1、2、3，未被录用的工种数是3、2、1、0，
它们的乘积是0×3=0，1×2=2，2×1=2，3×0=0，
∴ξ的取值只能是0、2；
当ξ=0时，P（ξ=0）=0.16；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.84；
∴ξ的分布列为：
…（9分）
数学期望是Eξ=0×0.16+2×0.84=1.68．
解析
解：（1）该技术人员被录用的概率是
P=1-（1-0.8）×（1-0.5）×（1-0.2）=1-0.2×0.5×0.8=0.92；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，
则被录用的工种数是0、1、2、3，未被录用的工种数是3、2、1、0，
它们的乘积是0×3=0，1×2=2，2×1=2，3×0=0，
∴ξ的取值只能是0、2；
当ξ=0时，P（ξ=0）=0.16；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.84；
∴ξ的分布列为：
…（9分）
数学期望是Eξ=0×0.16+2×0.84=1.68．
已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=
正确答案
解析
解：由题意可得：2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1-2x）=2．
∴方差Dξ=
化为
∴
∴
故答案为
武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家，每周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟，则称该天为“风顺”天
（1）求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率；
（3）记X为小明一周中“风顺”天的天数，求X的数学期望．
正确答案
解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为P0，
每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，
基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，
代入公式可得P0=
某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：P=
（2）某天为“风顺”天的概率为：P2=
依题意得，X～B（5，
∴EX=5×
解析
解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为P0，
每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，
基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，
代入公式可得P0=
某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：P=
（2）某天为“风顺”天的概率为：P2=
依题意得，X～B（5，
∴EX=5×
“追星族”统计表
（1）求a，b的值．
（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）
故a=0.75×400=300，…（2分）
[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，
故b=
综上，a=300，b=0.1．…（4分）
（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为
ξ～B（2，
故ξ的分布列是：
…（8分）
ξ的期望是
ξ的方差是
解析
（本小题满分12分）
解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）
故a=0.75×400=300，…（2分）
[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，
故b=
综上，a=300，b=0.1．…（4分）
（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为
ξ～B（2，
故ξ的分布列是：
…（8分）
ξ的期望是
ξ的方差是
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