- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某驾校甲、乙、丙三名学员在考科目一前的10次模拟考试中通过的次数统计如下表：
假设三名学员子啊正式考试中发挥正常，且各人成绩互不影响，将前10次模拟考试通过的频率作为正式考试通过的概率
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学员在正式考试中均未通过的概率
（Ⅱ）设甲、乙、丙三名学员在正式考试中通过的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记甲、乙、丙三名学员考试通过分别为事件A，B，C，由题意得P（A）=0.9．P（B）=0.8，P（C）0.9．因为三个事件互相独立，则三名学员在正式考试中均为通过的概率P（
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1.2.3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.9×0.8×0.9=0.648
故ξ的分布列为
数学期望Eξ=0×0.002+1×0.044+2×0.306+4×0.648=2.6
解析
解：（1）记甲、乙、丙三名学员考试通过分别为事件A，B，C，由题意得P（A）=0.9．P（B）=0.8，P（C）0.9．因为三个事件互相独立，则三名学员在正式考试中均为通过的概率P（
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1.2.3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.9×0.8×0.9=0.648
故ξ的分布列为
数学期望Eξ=0×0.002+1×0.044+2×0.306+4×0.648=2.6
第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部（其中男生4人，女生3人）中选3人参加两会的志愿者服务活动．
（1）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望：
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
正确答案
解：（1）ξ得可能取值为 0，1，2，3
由题意P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列、期望分别为：
Eξ=0×+1×+2×+3×= …（8分）
（2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为=15，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为=5 …（10分）
∴P（C）==．
∴在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为． …（12分）
解析
解：（1）ξ得可能取值为 0，1，2，3
由题意P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列、期望分别为：
Eξ=0×+1×+2×+3×= …（8分）
（2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为=15，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为=5 …（10分）
∴P（C）==．
∴在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为． …（12分）
为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者．
（Ⅰ）以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；
（Ⅱ）以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者．
（Ⅰ）设Ai（0≤i≤3）表示“所挑选的3名青少年有i个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件A，
则
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，则
P（X=0）=
P（X=3）=
X的分布列为
则．…（12分）
解析
解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者．
（Ⅰ）设Ai（0≤i≤3）表示“所挑选的3名青少年有i个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件A，
则
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，则
P（X=0）=
P（X=3）=
X的分布列为
则．…（12分）
（1）求该校随机抽查的部分男生的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设X表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望．
正确答案
解得p1，=0.125，p2=0.25，p3=0.375…（4分）
∵p2=0.25=
（2）由（1）可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+（0.0375+0.0125）×5=
∴X～（3，
∴p（X=k）=
随机变量X的分布列为：
则EX=0×+1×+2×+3×= …（12分）
解析
解得p1，=0.125，p2=0.25，p3=0.375…（4分）
∵p2=0.25=
（2）由（1）可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+（0.0375+0.0125）×5=
∴X～（3，
∴p（X=k）=
随机变量X的分布列为：
则EX=0×+1×+2×+3×= …（12分）
甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：
52 32 41 72 43 35 45 61 53 44
乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：
44 56 38 61 72 57 64 71 58 62
（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；
（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．
正确答案
解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为
设乙地区调查数据的平均数为
由以上计算结果可得
法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（5分）
（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：
X的分布列为…（10分）
∵…（12分）
解析
解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为
设乙地区调查数据的平均数为
由以上计算结果可得
法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（5分）
（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：
X的分布列为…（10分）
∵…（12分）
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