- 随机事件的概率
- 共3327题
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（II）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按（I）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
（注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）-（一次性费用））
正确答案
（I）频率分布表，如下：
设A1，A2分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．
∵P（A1）=0.2+0.4=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∴汽车A选择公路1，
∵P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽车A选择公路2；
（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X=42，40，38，36
X的分布列如下：
∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0（万元）
设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下
∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4
∴汽车B为生产商获得毛利润更大．
甲乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3．两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）求取出的两个球都标有数字1的概率；
（2）求乙获胜的概率．
正确答案
根据题意，两人分别取球的所有可能的结果数是：n=100
（1）用A表示事件：“取出的两球都标有数字1”
则A包含的基本事件数是：m=5×5=25
∴P(A)=
（2）设B表示事件：“乙获胜”，则
由题设可知，P(
∴P（B）=1-P（
某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为______．（结果用分数表示）
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有C202种结果，
而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家，
∵此两人属于同一个国家共有C112+C42+C52，
由对立事件的概率公式得到P=1-
故答案为：
在某次数学实验中，要求：实验者从装有8个黑球、2个白球的袋中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回．现有甲、乙两名同学，规定：甲摸一次，乙摸两次．求：
（I）甲摸出了白球的概率；
（II）乙恰好摸出了一次白球的概率；
（III）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的概率．
正确答案
（I）由题意知这是一个古典概型，试验发生包含的事件数是10，
而满足条件的事件是2
设“甲摸出了白球”为事件A，
∴P(A)=
（II）由题意知这是一个独立重复试，
试验发生包含的事件是等可能事件，它发生的概率是
设“乙恰好摸出了一次白球”为事件B，
∴P（B）=
1
5
×
（III）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的对立事件是甲和乙两个人都没有摸到白球，
两个人都没有摸到白球是相互独立的，概率为
设“甲乙两人中至少有一个人摸出白球”为事件C，
∴P(C)=1-
某校15名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：
（1）从“科服队”中任选3人，使得这3人参加活动次数各不相同，这样的选法共有多少种？
（2）从“科服队”中任选2人，求这2人参加活动次数之和大于3的概率．
正确答案
（1）在参加活动次数为1，2，3的三组学生中各取一个人，
则选法种数为C31C41C81=96．
故3人参加活动次数各不相同的选法共有96种．
（2）根据题意，“2人参加活动次数之和不大于3”与“2人参加活动次数之和大于3”为对立事件，
则2人参加活动次数之和不大于3的概率为P1=
故他们参加活动次数之和大于3的概率为P2=1-P1=1-
所以，2人参加活动次数之和大于3的概率
某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是______．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是______．
正确答案
第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为 
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 
故答案为：
甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．现从甲，乙两袋中各任取2个球．
（Ⅰ）若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
正确答案
（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A，
分析可得，从甲袋中取出的都是红球的概率为
从乙袋中取出的都是红球的概率为
P(A)=
（Ⅱ）记“取到的4个球至多有一个红球”为事件B，
“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，
“取到的4个球全是白球”为事件B2，
由题意，得P(B)=1-
P（B2）=
所以P（B）=P（B1）+P（B2）=
化简，得7n2-11n-6=0，解得n=2，或n=-
故n=2．
甲口袋中有大小相同的白球3个，红球5个，乙口袋中有大小相同的白球4个，黑球8个，从两个口袋中各摸出2个球，求：
（1）．甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率，
（2）．两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率．
正确答案
（1）甲口袋中摸出的2个都是红球的概率为P1=
（2）记“两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球”为事件D，它包括：
事件A：甲口袋摸出2个白球乙口袋摸出2个黑球，则P（A）=
事件B：甲、乙两个口袋各摸出1个白球，则P（B）=
事件C：甲口袋摸出2个红球乙口袋摸出2个白球，则P（C）=
且A、B、C彼此互斥，所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次． 求：
（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
正确答案
（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
从袋中摸球，摸到红球的概率是
三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，
∴P=
（2）利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
红
3只颜色全相同的概率为P2=2×
（3）3只颜色不全相同的概率为P=
答：全部摸到红球的概率是
（理）袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求摸出2个或3个白球的概率______．
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件从袋中装有大小相同的5个白球和3个黑球的袋中摸出4个球，共有C84=70种结果，
满足条件的事件是取出的球中2个或3个白球，共有C52•C32+C53•C31=60种结果
故摸出2个或3个白球的概率=
故答案为：
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