- 随机事件的概率
- 共3327题
一袋中放着写有1号至5号的5张纸牌，A、B两人按A、B、A、B，…的次序轮流从袋中不放回…的取出1张纸牌，规定先取到5号纸牌者获胜．
（1）求B第一次取牌就获胜的概率；
（2）求B获胜的概率．
正确答案
（1）由题意知B要取得5号纸牌，包括A第一次没有取到5号纸牌，且B第二次取到，
这两个事件是相互独立事件，
∴B第一次取牌获胜的概率为：P=
（2）由题意知B获胜包括两种可能，一是B第一次取到5号和B第二次取到5号，
这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和等可能事件的概率
和相互独立事件同时发生的概率，得到
B第二次取牌获胜的概率为：P=
∴B获胜的概率为：P=
甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率．（精确到0.001）
正确答案
（1）∵前三局比赛甲队领先分为两种情况，这两种情况是互斥的，
①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为P1=C33（0.6）3×（0.4）0=0.216；
②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为P2=C32（0.6）2×（0.4）1=0.432；
∴前三局比赛甲队领先的概率为：P=P1+P2=0.648
（2）本场比赛乙队以3：2取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜，
其概率为P=C42（0.6）2×（0.4）2×0.4=0.13824≈0.138
甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果甲、乙两人击中目标的概率都为0.8，丙击中目标的概率为0.6，计算：
（1）三人都击中目标的概率；
（2）至少有两人击中目标的概率；
（3）其中恰有一人击中目标的概率．
正确答案
（1）记A表示“甲射击一次击中目标”，B表示“乙射击一次击中目标”，C表示“丙射击一次击中目标”，
那么“三人都击中目标”的概率为P=P（A•B•C）=P（A）P（B）P（C）=0.82•0.6=0.384．（2）“至少有两人击中目标”包括“三个人中恰有2人击中目标”和“三人都击中目标”
∴“至少有两人击中目标”的概率P=P（A•B•
（3）“三个人中恰有1人击中目标”的对立事件包括“至少两人击中目标”和“三个都未击中目标”
故三个人中恰有1人击中目标”的概率为P=1-0.832-P（
把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字．P从A点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷．求点P恰好返回A点的概率．
正确答案
投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为
①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为P1=
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为P2=(
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，
其概率为 P3=(
1
4
)3×3=
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为 P4=(
1
4
)4=
则能返回A点的概率为：P=P1+P2+P3+P4=
经测试，甲、乙两台机器分别运行一个小时出现故障的概率为0.15和0.1，则在生产流水线上同时运行这两台机器，一小时内不出现故障的概率为______．
正确答案
由题意可得甲、乙两台机器分别运行一个小时不出现故障的概率分别为0.85和0.9，
则在生产流水线上同时运行这两台机器，一小时内不出现故障的概率为0.85×0.9=0.765．
故答案为：0.765．
甲、乙两人参加一项智力竞赛．在同一轮竞赛中，两人测试同一套试卷，成绩由次到优，依次分为“合格”，“良好”，“优秀”三个等级．根据以往成绩可知，甲取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立，且每个人的前后各轮次竞赛成绩互不影响．
（Ⅰ）求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮竞赛中，至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率．
正确答案
记A1，A2分别表示甲取得良好、优秀，B1，B2分别表示乙取得合格、良好，A表示在一轮竞赛中，甲取得的成绩优于乙取得的成绩B表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩，C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩．则
（Ⅰ）A=A1•B1+A2•B1+A2•B2，（2分）
P（A）=P（A1•B1+A2•B1+A2•B2）=P（A1•B1）+P（A2•B1）+P（A2•B2）=P（A1）×P（B1）+P（A2）×P（B1）+P（A2）×P（B2）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（6分）
（Ⅱ）B=C1+C2，（8分）P（C1）=C32[P（A）]2[1-P（A）]=3×0.22×（1-0.2）=0.096，
P（C2）=[P（A）]3=0.23=0.008，
P（B）=P（C1+C2）=P（C1）+P（C2）=0.096+0.008=0.104．（12分）
甲、乙两人参加一项智力竞赛．在同一轮竞赛中，两人测试同一套试卷，成绩由次到优，依次分为“合格”，“良好”，“优秀”三个等级．根据以往成绩可知，甲取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立，且每个人的前后各轮次竞赛成绩互不影响．
（Ⅰ）求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮竞赛中，至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率．
正确答案
记A1，A2分别表示甲取得良好、优秀，B1，B2分别表示乙取得合格、良好，A表示在一轮竞赛中，甲取得的成绩优于乙取得的成绩B表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩，C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩．则
（Ⅰ）A=A1•B1+A2•B1+A2•B2，（2分）
P（A）=P（A1•B1+A2•B1+A2•B2）=P（A1•B1）+P（A2•B1）+P（A2•B2）=P（A1）×P（B1）+P（A2）×P（B1）+P（A2）×P（B2）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（6分）
（Ⅱ）B=C1+C2，（8分）P（C1）=C32[P（A）]2[1-P（A）]=3×0.22×（1-0.2）=0.096，
P（C2）=[P（A）]3=0.23=0.008，
P（B）=P（C1+C2）=P（C1）+P（C2）=0.096+0.008=0.104．（12分）
一袋中放着写有1号至5号的5张纸牌，A、B两人按A、B、A、B，…的次序轮流从袋中不放回…的取出1张纸牌，规定先取到5号纸牌者获胜．
（1）求B第一次取牌就获胜的概率；
（2）求B获胜的概率．
正确答案
（1）由题意知B要取得5号纸牌，包括A第一次没有取到5号纸牌，且B第二次取到，
这两个事件是相互独立事件，
∴B第一次取牌获胜的概率为：P=
（2）由题意知B获胜包括两种可能，一是B第一次取到5号和B第二次取到5号，
这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和等可能事件的概率
和相互独立事件同时发生的概率，得到
B第二次取牌获胜的概率为：P=
∴B获胜的概率为：P=
在某种考试中，设A、B、C三人考中的概率分别为
（1）求三人都考中的概率
（2）求至少一人考中的概率
（3）几人考中的事件最容易发生？
正确答案
（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可得，
三人都考中的概率为 
（2）这三个人都没有考中的概率为 （1-
故至少一人考中的概率为 1-
（3）三人都考中的概率为 
只有一个人考中的概率为 
只有一个人考中的概率为
故只有一人考中的概率最大．
甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．
正确答案
（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，9，3，且2(ξ=0)=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0×
解法二：根据题设可知，ξ～B(3，
因此ξ的分布列为2(ξ=k)=
因为ξ～B(3，
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（9分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又2(C)=
由互斥事件的概率公式得2(AB)=2(C)+2(D)=
解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，9，3．
由于事件A3B0，A9B1为互斥事件，故有2（AB）=2（A3B0∪A9B1）=2（A3B0）+2（A9B1）．
由题设可知，事件A3与B0独立，事件A9与B1独立，因此2（AB）=2（A3B0）+2（A9B1）=2（A3）2（B0）+2（A9）2（B1）=(
9
3
)3×(
扫码查看完整答案与解析