- 随机事件的概率
- 共3327题
甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7，0.6，0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍。
(Ⅰ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
(Ⅱ)将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；
(Ⅲ)将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求EX。
正确答案
解：(Ⅰ)设从甲、乙、丙台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A，B，C，
则P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(C)=0.8，
从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为
(Ⅱ)将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，
它是一等品的概率为
(Ⅲ)X的可能取值为4，3，2，1，0，
X的分布列为
所以，
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）。
正确答案
解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，
则
又
故p=0.001。
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和，
支出
盈利
盈利的期望为
由
故每位投保人应交纳的最低保费为15元。
某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答。
（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；
（Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ。
正确答案
解：（Ⅰ）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目，
B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类，
C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目，
∴
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，
∴
故ξ的分布列为：
于是，ξ的期望
用红、黄、蓝、白、橙五种颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花。
（1）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（2）记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望。
正确答案
解：（1）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图，A、D为红色时，共有4×3×3=36种，B、E为红色时，共有4×3×3=36种，
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种；
当区域A、D同色时，共有5×4×3×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种，
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种，
它们是等可能的所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（2）随机变量ξ的取值分别为0，1，2，
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以，
由（1）知，
所以
从而随机变量ξ的分布列为：
所以，
某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答。
（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；
（Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数
正确答案
解：（Ⅰ）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；
B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；
C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目，
则
（Ⅱ）
故
于是，
口袋中有1个红球、2个黄球、3个白球、3个黑球共9个球，从中任取3个球．
(Ⅰ)求取出的球的颜色不全相同的概率；
(Ⅱ)记ξ为取出的球的颜色的种数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)ξ的可能取值为1，2，3，
∴ξ的分布列为
∴
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且
∴取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）
（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=
（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得
又
从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=
ξ的分布列为
ξ的数学期望
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