热门试卷

（1）由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则.从而e2＋＝1.

由得，从而.

故该椭圆的标准方程为.

（2）由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)。

又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

|QM|2＝(x－x0)2＋y2

＝x2－2x0x＋x02＋

＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])。

设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，

又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.

由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|2＝|2y1|，

所以S＝|2y1||x1－x0

＝

＝

＝.

当时，△PP′Q的面积S取到最大值.

此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径，

因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.

由       

所以, 是等差数列.

而       

(2)

（1）是等差数列，∴，即.………2分

所以，的最小值为；

（2）设的公差为，则， .…5分

设三角形的三边长为，

面积，，………………………………7分

当为偶数时，

;

当为奇数时，;……9分

综上，.……………………………………………………10分

（3）证明：因为成等比数列，.………………………………………11分

由于为直角三角形的三边长，知，，………12分

又,得.……13分

于是

.……………14分

, 则有.……………………15分

故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.

证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点Ｅ和点Ｄ连结BD、CE，因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径。

从而，所以BD//CE，

于是

所以AB：AC为定值

设，从而

解得

由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：

故所求直线的斜率为，因此其方程为

原不等式可化为

解得

所以原不等式的解集是

（1）证明：记F(x)＝，则F′(x)＝.

当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数；

当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数。

又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sin x≥.

记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即

sin x≤x.

综上，≤sin x≤x，x∈[0,1]。

（2）解法一：因为当x∈[0,1]时，

ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4

＝(a＋2)x＋x2＋

≤(a＋2)x＋x2＋

＝(a＋2)x.

所以，当a≤－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立。

下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

因为当x∈[0,1]时，

ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4

＝(a＋2)x＋x2＋

≥(a＋2)x＋x2＋

＝(a＋2)x－x2－

≥(a＋2)x－

.

所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足＋2(x0＋2)cos x0－4＞0，

即当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0,1]不恒成立。

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]。

解法二：记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x.

记G(x)＝f′(x)，则

G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.

当x∈(0,1)时，cos x＞，因此

G′(x)＜2＋3x－4·x－(x＋2)

＝.

于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立。

下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.

当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)＝0；

当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－时，f′(1)＜0，又f′(0)＞0，故存在x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，则当0＜x＜x0时，f′(x)＞f′(x0)＝0.所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0.

所以，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]。