热门试卷

（1）证明：记F(x)＝，则F′(x)＝.

当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数；

当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数。

又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sin x≥.

记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即

sin x≤x.

综上，≤sin x≤x，x∈[0,1]。

（2）解法一：因为当x∈[0,1]时，

ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4

＝(a＋2)x＋x2＋

≤(a＋2)x＋x2＋

＝(a＋2)x.

所以，当a≤－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立。

下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

因为当x∈[0,1]时，

ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4

＝(a＋2)x＋x2＋

≥(a＋2)x＋x2＋

＝(a＋2)x－x2－

≥(a＋2)x－

.

所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足＋2(x0＋2)cos x0－4＞0，

即当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0,1]不恒成立。

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]。

解法二：记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x.

记G(x)＝f′(x)，则

G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.

当x∈(0,1)时，cos x＞，因此

G′(x)＜2＋3x－4·x－(x＋2)

＝.

于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立。

下面证明，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.

当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)＝0；

当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－时，f′(1)＜0，又f′(0)＞0，故存在x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，则当0＜x＜x0时，f′(x)＞f′(x0)＝0.所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0.

所以，当a＞－2时，

不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立。

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]。