相关点法求轨迹方程
共18题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

12.在直角坐标平面上，已知点,为线段AD上的动点，若恒成立，则实数的取值范围为

正确答案

解析

解法一：设，由得，即点M恒在圆的外部（含圆周）上，故当线段AD与圆相切时，取最小值，

∵ ∴由.答案A.

解法二：由可得

恒成立，故，解得

解法三：设由恒成立

可得化简得

，解得。

考查方向

本题主要考查点的轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，正弦定理，向量，一元二次不等式恒成立等知识，意在考查考生的转化与化归能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先将题中给出的条件恒成立正确转化；根据转化的形式不同，后面的解法可以转化为直线与圆相切或恒成立求解。

易错点

对于题中给出的条件恒成立无从下手；

知识点

相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知双曲线的左、右两个焦点为, ，动点P满足|P|+| P |=4。

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设过的直线交轨迹E于A、B两点，求以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程。

正确答案

（1）双曲线的方程可化为

∴P点的轨迹E是以为焦点，长轴为4的椭圆

由 ; 所求轨迹方程为

（2）略

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题定义法求轨迹方程相关点法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.已知圆C:x2+y2=16，过点P(2,3)作直线l交圆C于A,B两点，分别过A,B两点作圆C的切线，若两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为________

正确答案

2x+3y=16

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),则直线AQ的方程为x1x+y1y=16,直线BQ的方程为x2x+y2y=16,

因为点Q为两直线的交点,所以所以A,B两点都在直线xm+yn=16上,又点P(2,3)在弦AB上,所以2m+3n=16,故点Q的轨迹方程为2x+3y=16.

知识点

直线与圆的位置关系相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

正确答案

解:（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，，所以，， ①

因为在圆上，所以 ②

将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为

此时，当时，同理可得；

当时，设切线的方程为

由

得③

设A、B两点的坐标分别为，则由③得：

．

又由l与圆相切，得即

所以

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2

依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，

所以面积，

当且仅当时，面积S的最大值为1，

解析

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知识点

直线与圆相交的性质直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

9. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）

正确答案

解析

如图，设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),因为P点在圆上，所以将P点坐标代入圆的方程得到，化成

椭圆的标准方程得到，所以

考查方向

本题主要考查用相关点法求曲线的轨迹方程，以及椭圆的定义，难度中档，属高考热点之一。圆锥曲线在高考中常涉及离心率的取值范围或某参数的取值范围等，计算量一般较大。

解题思路

如图，

设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),然后将P点坐标代入圆的方程即得M点的轨迹方程，然后再求离心率

易错点

不会用相关点法求椭圆方程，或求出椭圆方程后忘记开方

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

过点作直线与圆交于两点，在线段上取满足的点.

23.求点的轨迹方程；

24.设直线与圆交于两点，求为圆心）面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

1.直线与圆的位置关系；2.三角形面积最大值

解题思路

直线和圆的方程联立，建立等量关系，消去相关参数，最后求出P的轨迹方程

易错点

计算能力弱，相关定理公式混淆

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

1.直线与圆的位置关系；2.三角形面积最大值

解题思路

先表示出圆心到直线的距离，然后用三角形面积，求解最值

易错点

计算能力弱

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．如图，圆与轴的正半轴交于点，是圆上的动点，点在轴上的投影是，点满足

（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线与点的轨迹交于不同的两点、，若，求直线的方程

正确答案

（1）设，则由题意得轴且M是DP的中点，

所以

又P在圆上，

所以，

即，

即

轨迹是以与为焦点，

长轴长为4的椭圆

（2）方法一：当直线的斜率不存在时，

，不满足题意。

设直线方程为，

代入椭圆方程得：

△

设，

则　　　（＊）

由知E是BF中点，

所以　　　　（＊＊）

由（＊）、（＊＊）

解得满足，

所以

即所求直线方程为：

解析

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知P为圆A:(x + l)2+y2=8上的动点，点B(1，0)，线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为P.

（1）求曲线P的方程；

（2）当点P在第一象限，且COS∠BAP=，求点M的坐标.

正确答案

（1）圆A的圆心为A(-1，0),半径为，

由已知得，于是，

故曲线P是以A,B为焦点，

以为长轴长的椭圆，

且

故曲线P的方程为

（2）由点P在第一象限，，

得，

于是直线AP方程为：代入椭圆方程，

消去y,可得，

所以，由于点M在线段AP上，

所以点M的坐标为

解析

已知圆心为A(-1,0),半径为，

容易得到MA=MP,所以MA+MB=MA+MP,

故曲线P是以A,B为焦点，

以为长轴的椭圆，

从而可求曲线方程，

当点P在第一象限，

求出点P的坐标，可得直线AP方程，

带入椭圆方程，消去y,即可得到M点的坐标。

考查方向

本题主要考查直线和圆的方程的应用

解题思路

根据已知条件求出曲线的方程，根据曲线方程求出点的坐标。

易错点

椭圆的方程定义不清楚，计算能力弱

知识点

直线和圆的方程的应用相关点法求轨迹方程

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