热门试卷

（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，，

整理，得，所以轨迹的方程为。

方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。

且其中定点为焦点，定直线为准线。

所以动圆圆心的轨迹的方程为

（2）由（1）得，即，则。

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为。

由题意知点，设点，，

则，

即。

因为，，

由于，即。

所以，

（3）方法1：由点到的距离等于，可知。

不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：。

由

解得点的坐标为，

所以。

由（2）知，同理可得。

所以△的面积，

解得，

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即，

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即，

方法2：由点到的距离等于，可知。

由（2）知，所以，即。

由（2）知，。

所以。

即，        ①

由（2）知，           ②

不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得

因为，

同理，

以下同方法1。

（1）依据题意，可得点.

，

又，

.

所求动点的轨迹方程为.

（2）   若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴。

设直线的斜率为，则。

由 得。

设点，有 且恒成立（因点在椭圆内部）。

又，

于是，，即，

解得。

所以，所求直线

（3） 当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.

满足题意的直线的斜率存在，设为，则.

设点，由（2）知，进一步可求得

依据题意，有，

，

即，解得.

所求圆的半径，

圆心为.

所求圆的方程为：

（1）设点，由得.

由,得，即.

又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是

.

（2）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物

线的两个交点,所以直线的斜率不为.

当直线斜率不存在时，得，不合题意；

当直线斜率存在且不为时，设，代入得

，

则，解得.

代入原方程得，由于，所以，由,

得，∴.

（1）由已知得的定义域为，

因为，所以

当时，，所以，

因为，所以……………………………………………………………2分

所以曲线在点处的切线方程为

.……………………………………………………………………4分

（2）因为处有极值，所以，

由（1）知所以

经检验，处有极值. ………………………………………………………………6分

所以解得；

因为的定义哉为，所以的解集为，

即的单调递增区间为.…………………………………………………………………8分

（3）假设存在实数a，使有最小值3，

①当时，因为，

所以在上单调递减，

，解得（舍去）…………………………………………………10分

②当上单调递减，在上单调递增，

，满足条件。 ………………………………………………12分

③当，

所以 上单调递减，，

解得，舍去。

综上，存在实数，使得当有最小值3. …………………………………14

（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.

由题意，有·=4

化简可得，4x2-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）

（2）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0.  (﹡)

对于方程(﹡)，其判别式=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根.

因为,所以，

所以。

此时

所以

所以

综上所述，  

（1）依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，

因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)。

M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)。

（2）M点到坐标原点的距离

d＝(0＜α＜2π)。

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点。

（1）因为，轨迹是以、为焦点的椭圆，                    

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称