- 排列数公式的推导
- 共36题
已知圆:
,圆
:
,动圆
与
外切并且与圆
内切,圆心
的轨迹为曲线 C.
(1)求C的方程;
(2)是与圆
,圆
都相切的一条直线,
与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
正确答案
(1) ;(2)
解析
由已知得圆的圆心为
(-1,0),半径
=1,圆
的圆心为
(1,0),半径
=3.
设动圆的圆心为
(
,
),半径为R.
(1)∵圆与圆
外切且与圆
内切,∴|PM|+|PN|=
=
=4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为
.
(2)对于曲线C上任意一点(
,
),由于|PM|-|PN|=
≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为
时,则
与
轴重合,可得|AB|=
.
当的倾斜角不为
时,由
≠R知
不平行
轴,设
与
轴的交点为Q,则
=
,可求得Q(-4,0),∴设
:
,由
于圆M相切得
,解得
.
当=
时,将
代入
并整理得
,解得
=
,∴|AB|=
=
.
当=-
时,由图形的对称性可知|AB|=
,
综上,|AB|=或|AB|=
知识点
从2、3、5、7这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是
正确答案
解析
略
知识点
设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和,记,n∈N*,其中c为实数。
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
正确答案
见解析
解析
证明:由题设,.
(1)由c=0,得.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以
=b1b4,
即,化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.
因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.
从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
(2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有
=c(d1-b1)。
令A=,B=b1-d1-a+
,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)
在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,
从而有
由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd1=0.
即=0,b1-d1-a+
=0,cd1=0.
若d1=0,则由=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.
又因为cd1=0,所以c=0.
知识点
已知全集,集合
,
,若
,则实数
的值为 .
正确答案
2
解析
,则
知识点
14.已知数列中,
,且数列
是等差数列,则
=___________.
正确答案
解析
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知识点
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