平面向量数量积的含义与运算
共1774题

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题型：简答题

简答题

如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的

左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值.

正确答案

（1）；（2）的最小值为，此时圆的方程为；

（3）详见解析.

试题分析：（1）利用圆的方程的求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、的关系求出，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点、的对称性，设点，将表示为的二次函数，结合的取值范围，利用二次函数求出的最小值，从而确定点的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点，求出、的方程，从而求出点、的坐标，最后利用点在椭圆上来证明为定值.

（1）依题意，得，，，，

故椭圆的方程为；

（2）点与点关于轴对称，设、，不妨设，

由于点在椭圆上，所以，（*）

由已知，则，，

，

由于，故当时，取得最小值为，

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到，

故圆的方程为：；

（3）设，则直线的方程为：，

令，得，同理：，

故（**）

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：

所以为定值.

题型：填空题

填空题

如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________ .

正确答案

试题分析：由题得,以A点为原点,AB为x轴,AD为y轴建立直角坐标系,则点N(1,2),设M(x,y),根据题意直角梯形即为M点的可行域,利用线性规划的知识可以解得目标函数在交点C(2,2)处取得最大值为6,故填6.

题型：填空题

填空题

已知在△ABC中，有，则下列说法中：①△ABC为钝角三角形；②；③.

正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号）

正确答案

①②③

试题分析：根据向量的数量积运算可知:,因为向量的模长为正,所以,又因为在三角形中,所以为钝角,故①正确；根据余弦定理，有，故②正确；因为,故③正确.

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，，点满足，，，则线段在轴上的投影长度的最大值为．

正确答案

试题分析：点的坐标为，则，又，则三点共线，

，则，设与轴夹角为，则在轴上的投影长度为，即线段在轴上的投影长度的最大值为．

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）设函数的图象上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，若，且点P的横坐标为．

(1)，求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

(2)，求

(3)，记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围。

正确答案

(1)见解析；(2)；(3).

本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用。以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明。

（1）由于点在函数图像上，同时满足，那么利用坐标化简得到结论。

（2）根据f (x1)＋f (x2)＝y1＋y2＝1，f (1)＝2－，结合倒序相加法求解得到结论。

（3）根据已知的和式得到，裂项求和的数学思想得到证明。

(1)证：∵，∴P是P1P2的的中点Þx1＋x2＝1------(2分)

　　∴

∴．-----------------------------(4分)

(2)解：由(1)知x1＋x2＝1，f (x1)＋f (x2)＝y1＋y2＝1，f (1)＝2－，　　，

相加得

　　　　 (n－1个1)∴．------------(8分)

(3)解：

　　 --------------------（10分）　　　Û　　　∵≥8，当且仅当n＝4时，取“＝” ∴，因此，-------------------（12分）

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