平面向量数量积的含义与运算
共1774题

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平面向量数量积的含义与运算
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题型：简答题

简答题

已知向量=(sinθ，-2)与=(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．

（1）求sinθ和cosθ的值；

（2）若sin(θ-φ)=，0＜φ＜，求cosφ的值．

正确答案

（1）∵与互相垂直，则•=sinθ-2cosθ=0，

即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±，cosθ=±，又θ∈(0，)，

∴sinθ=，cosθ=

（2）∵0＜ϕ＜，0＜θ＜，

∴-＜θ-ϕ＜，则cos(θ-ϕ)==，

∴cosφ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cosθcos(θ-ϕ)+sinθsin(θ-ϕ)=

题型：填空题

填空题

给出下列四个命题：

①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；

②若p=a+（a＞2），q=(

)x2-2（x∈R），则p＞q，

③已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3；

④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=处取得最小值，则f（-x）=-f（x）．

其中正确命题的序号是______．（把你认为正确的命题的序号都填上）

正确答案

①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则⇒x＞1，①正确

②p=a+=a-2++2≥4（a＞2），q=(

)x2-2≤

-2=4，则p≥q，②错误

③由||=||=2，与的夹角为可得+与的夹角为投影为30°，根据投影的定义可得，+在上的投影为

|+|cos30°=2×=3，③正确

④f（x）=asinx-bcosx，在x=处取得最小值，可得a=-b，则f（x）=asinx+acosx=sin(x+)

，f（-x）═sin(-x+)=-sin(x+)=-f（x），④正确

故答案为：①③④

题型：简答题

简答题

已知：=(cosx，sinx)，=(cos，-sin)，x∈[，]．

（1）求：|+|的取值范围；

（2）求：函数f（x）=2sinx+|+|的最小值．

正确答案

（1）|+|==，

∵π≤2x≤3π，

∴-1≤cos2x≤1

∴0≤|+|≤1

（2）f(x)=2sinx+=2sinx-2cosx=2sin(x-)

由≤x-≤，

得当x=时，f（x）取得最小值-2

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，-sinx)，=(cosx，sinx-2cosx)，x∈R，令f（x）=•，

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当x∈(0，]时，求函数f（x）的值域．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=cos2x-sinx(sinx-2cosx)=cos2x+sin2x=2sin(2x+)

∵函数y=sinx的单调增区间为[2kπ-，2kπ+]，

∴2kπ-≤2x+≤2kπ+，∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z

（Ⅱ）当x∈(0，]时，

∴＜2x+≤，

∴-≤sin(2x+)≤1，

即-1≤2sin(2x+)≤2

∴函数f（x）的值域为[-1，2]

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=．

（1）若•=，求a+c的值；

（2）求+的值．

正确答案

（1）由•= 可得 ac•cosB=，因为 cosB=，所以b2=ac=2．

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2+c2=b2+2accosB=5，

则（a+c）2=a2+c2+2ac=9，故a+c=3．

（2）由cosB=可得 sinB=．

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，

于是 +=====．

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