平面向量数量积的含义与运算
共1774题

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题型：简答题

简答题

（6分）已知点A，点B，若点C在直线上，且.

求点C的坐标.

正确答案

试题分析：因为点C在直线上，所以设C（x，3x），则

……………6分

点评：设若，则。

题型：简答题

简答题

已知是一个平面内的三个向量，其中=（1，2）

（1）若||＝，∥，求及·.

（2）若||＝，且＋2与3－垂直，求与的夹角.

正确答案

（1）当、同向时，=（2，4），当、反向时，=（-2，-4），

（2）

试题分析：（1）∥ =(1,2) 设==（，2） 1分

又， … 3分

当、同向时，=（2，4）当、反向时，=（-2，-4） 5分

6分

（2）

又，即 10分

设与夹角为，则

， 12分

点评：应用共线向量时，要注意向量是同向还是反向，求向量的夹角时，要注意夹角的取值范围.

题型：填空题

填空题

已知向量=(sin,2)与向量=(cos,1)互相平行，则tan2的值为_______。

正确答案

试题分析：根据两个向量平行，写出向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于角的三角函数的关系式，等式两边同除以余弦值，得到角的正切值，利用正切的二倍角公式，代入数据得到结果．∴sinα-2cosα=0，∴tanα=2，结合二倍角的正切公式可知，tan2= ，故答案为

点评：本题表面上是对向量共线的考查，根据两个向量的坐标，用平行的充要条件列出式子，题目的重心转移到角的变换问题．

题型：填空题

填空题

已知向量，若，则的最小值为。

正确答案

试题分析：，所以.

点评：利用基本不等式求解时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，

，，与交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）求四边形的面积的最小值.

正确答案

（1）（2）

（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

解法一:

（1）解：设，

∵，

∴是线段的中点. ………… 2分

∴，① ……… 3分

. ② …… 4分

∵， ∴.

∴. ……… 5分

依题意知，

∴. ③ ………… 6分

把②、③代入①得：，即.……… 7分

∴点的轨迹方程为. ………… 8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

………… 9分

. …… 11分

∵，当且仅当时，等号成立， …………… 12分

∴. ………… 13分

∴四边形的面积的最小值为. ……… 14分

解法二:

(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,

由于,则直线的斜率为. …………… 1分

故直线的方程为,直线的方程为.

由消去,得.

解得或. …………… 2分

∴点的坐标为. ……… 3分

同理得点的坐标为. …… 4分

∵，

∴是线段的中点. ……… 5分

设点的坐标为,

则 …………… 6分

消去,得. …………… 7分

∴点的轨迹方程为. ……… 8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

…………… 9分

…………… 10分

…………… 11分

. …………… 12分

当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分

∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分

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