· 平面向量的数量积

· 平面向量数量积的含义与运算

平面向量数量积的含义与运算
共1774题

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平面向量数量积的含义与运算
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1

题型：填空题

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填空题

设点P为的重心，若AB=2，AC=4，则

= .

正确答案

4

略

1

题型：简答题

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简答题

已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·="5," =10.

(1)求D点的坐标.

(2)若D点在第二象限,用,表示.

(3)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.

正确答案

(1) (-2,3)或(2,1) (2) =-+. (3) =(-14,2)

(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).

由题得

∴或

∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).

(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).

∴=(-1,3).∵=(-2,1),

设=m+n,

则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),

∴∴

∴=-+.

(3)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),

∵3+与垂直,∴(3+)·=0,

∴m+14=0,∴m=-14,∴=(-14,2).

1

题型：简答题

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简答题

已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

正确答案

（1）θ＝（2）（3）3

(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，

∴a·b＝－6.

∴cosθ＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

(2)可先平方转化为向量的数量积．

|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×(－6)＋32＝13，

∴|a＋b|＝.

(3)∵与的夹角θ＝，

∴∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.

1

题型：简答题

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简答题

已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）

（1）若•=-1，求sin2α的值；

（2）若|+|=，其中O是原点，且α∈（0，π），求与的夹角．

正确答案

（1）由题意可得 =(cosα-3，sinα)，=(cosα，sinα-3)，

（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，化简得：sinα+cosα=，上式平方，解得：sin2α=-．

（2）由 |+|==，∴cosα=，∵α∈（0，π），∴α=，

∴C(，)，∴cos＜＞== =，

∴＜，＞=．

1

题型：简答题

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简答题

已知平面上三个向量，其中.

（1）若，且∥，求的坐标；

（2）若，且，求与夹角.

正确答案

（1）的坐标为；（2）与夹角.

试题分析：（1）设，由可以求出，进而求出的坐标；（2）利用向量夹角公式，可以直接求出与夹角.

试题解析：（1），设，由

． 7分

（2）

设为的夹角，则，

． 14分

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