- 充分条件与必要条件
- 共2861题
给定下列四个命题：
①“x=
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③若a＜b，则am2＜bm2；
④若集合A∩B=A，则A⊆B．
其中为真命题的是______（填上所有正确命题的序号）．
正确答案
①∵x=
②若“p∨q”为真，则p为真，或q为真，此时“p∧q”不一定为真，故②错误．
③当m=0时，am2=bm2，故③错误．
④由集合的性质易得④也正确．
故答案为：①④
给出下列四个命题：
①已知集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有12个；
②任意的三角形ABC中，有cos2A＜cos2B的充要条件是A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成2n2-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角；
其中真命题的序号是______（要求写出所有真命题的序号）．
正确答案
①集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有24-（1+2+1）=12个；
②cos2A＜cos2B⇔1-2sin2A＜1-2sin2B⇔sin2A＞sin2B⇔sinA＞sinB⇔A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成的部分是，当n=1，2时等式成立；当n=3时，3个圆把平面最多分成8部分，等式不成立；
④空间中直角在一个平面上的正投影不可以是钝角．
故填①②．
设集合A=（-∞，-2]∪[3，+∞），关于x的不等式（x-2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．
（1）求集合B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）∵a＜0
∴若（x-2a）（x+a）＞0
则x＜2a，或x＞-a
又∵不等式（x-2a）（x+a）＞0的解集为B
∴B=（-∞，2a）∪（-a，+∞）；
（2）∵p：x∈A，q：x∈B，且¬p是¬q的必要不充分条件，
∴A⊊B
又∵A=（-∞，-2]∪[3，+∞），
即
解得：-1＜a＜0
已知集合A为函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域，集合B={x|1-a2-2ax-x2≥0}．
（I）若A∩B={x|
（II）求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要条件．
正确答案
（I）要使函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）有意义，可得
即-1＜x＜1，∴A={x|-1＜x＜1}，
由1-a2-2ax-x2≥0得x2+2ax+a2-1≤0即（x+a-1）（x+a+1）≤0，
∴-1-a≤x≤1-a
从而B={x|-1-a≤x≤1-a}，
∵A∩B={x|
∴
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]
当a≥2时，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，解得a=-3，a＜2，
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要条件；
已知（x+1）（2-x）≥0的解为条件p，关于x的不等式x2+mx-2m2-3m-1＜0（m＞-
（1）若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）∵（x+1）（2-x）≥0⇒-1≤x≤2 条件P
∵x2+mx-2m2-3m-1=（x+2m+1）（x-m-1）＜0，∵m＞-
∴-2m-1＜x＜m+1 条件q
若p是q的充分不必要条件，则[-1，2]⊂（-2m-1，m+1）
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，q是P的充分不必要条件，
则（-2m-1，m+1）⊂[-1，2]
∴
∵m≥-
∴-
扫码查看完整答案与解析