热门试卷

（1）∵f（x）=，f（1）=2，

∴a=1

∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；

又∵f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），

∴函数f（x）在定义域上是奇函数．

（2）设1＜x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）

=（x1-x2）+（-）

=（x1-x2）（1-）

=（x1-x2）（），

∵1＜x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0

∴f（x1）-f（x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．

由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，

∴=10，a=10b．

又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x2+（lga+2）x+lgb≥2x，即x2+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，

由△=lg2a-4lgb≤0，故得（1+lgb）2-4lgb≤0

即（lgb-1）2≤0，只有lgb=1，不等式成立．

即b=10，∴a=100．

∴f（x）=x2+4x+1=（2+x）2-3

当x=-2时，f（x）min=-3．

（1）显然函数f（x）的定义域为R；（2分）

（2）函数f（x）为奇函数．（3分）

因为f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），（6分）

所以f（x）为奇函数．（7分）

（3）函数f（x）在R上是增函数．（8分）

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=（x13+x1）-（x22+x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=(x1-x2)[(x1+x2)2++1]（10分）

由x1＜x2，得x1-x2＜0，(x1+x2)2++1＞0，（11分）

于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．（12分）

所以，函数f（x）在R上是增函数．

（1）当b=0时，f（x）=ax2-4x，（1分）

若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在（-∞，2]上单调递减，符合题意；（3分）

若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，

必须满足（5分）

∴0＜a≤1．综上所述，a的取值范围是[0，1]（6分）

（2）若a=0，f(x)=-2x，则f（x）无最大值，（7分）

故a≠0，∴f（x）为二次函数，

要使f（x）有最大值，必须满足即a＜0且1-≤b≤1+，（8分）

此时，x0=时，f（x）有最大值．（9分）

又g（x）取最小值时，x0=a，（10分）

依题意，有=a∈Z，则a2==，（11分）

∵a＜0且1-≤b≤1+，∴0＜a2≤(a∈Z)，得a=-1，（12分）

此时b=-1或b=3．

∴满足条件的整数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）

（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x2-2x∵h（x+2）=h（x），

∴h（x）是以2为周期的周期函数，（14分）

又当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）2-2（x-2k），

故h（x）=-（x-2k）2-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）