- 函数性质的综合应用
- 共6029题
已知函数f（x）=x+
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[
正确答案
（1）由已知，方程）=x+
因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，
证明：设x1，x2∈（
f（x2）-f（x1）=x2+
因为x1，x2∈（
所以x2-x1＞0，x1x2＞a，
所以f（x2）-f（x1）＞0．…（10分）
所以f（x）在（
（3）因为f（x）≤10，故x∈[
由（2），知f（x）在区间[
所以，对于任意的a∈[
即
从而得到b≤
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，
已知函数g（x）=
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，4]上的最大值和最小值．
正确答案
（I）函数的定义域为x≠0
g（-x）=
所以g（x）是奇函数
（II）g′(x)=
令g′（x）=0得x=
x∈(1，
∴x=
当x=1时，g（1）=
∴函数g（x）在区间[1，4]上的最大值为
已知f（x）=a-
（Ⅰ）判断函数f(x)的单调性并证明；
（Ⅱ）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）对任意x∈R都有3x+1≠0，∴f（x）的定义域是R
设x1，x2∈R且x1
f（x1）-f（x2）=
∵y=3x在R上是增函数且x1
（Ⅱ）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数则f（0）=0
下面证明a=1时f（x）=1-
∵f（-x）=1-
∴存在实数a=1使函数f（x）为R上的奇函数。
已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为
正确答案
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x2+bx+c+1为奇函数，
∴F（0）=0，且F（1）=-F（-1），∴a=-1，c=-1，得到f（x）=-x2+bx-1，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为
解得b=-
所以f(x)=-x2-
已知函数f(x)=ax+
（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）任意取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2．
f(x1)-f(x2)=(x1+
因为x1＜x2，所以x1-x2＜0
0＜x1x2＜1，所以x1x2-1＜0
所以f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+
等价于当x∈（0，+∞）时ax2-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥
令g（x）=
∴a≥
故a的取值范围[
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