统计与统计案例_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.

19.若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

20.学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

21.在20题中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

可取0、1、2、3 ，，

，

的分布列为

的数学期望

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常进行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行。每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立

21.若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数；

22.若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于的水平，且该人待工而闲的概率小于.试探讨：一人操控台、台、台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属于概率问题，属于基础题，意在考查考生对基本概念的理解。

（Ⅰ）用表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则服从二项分布：，，于是.

考查方向

本题考查了二项分布及独立重复实验，考查考生的阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

解题思路

（1）用二项分布求数学期望

（2）首先要理解n取1，2，3时是属于什么概率问题，根据情况求出工作人员待工而闲的概率。

易错点

审题不清，不会用数学知识来转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）一个工作人员操控2台机器符合要求

解析

试题分析：本题属于概率问题，属于基础题，意在考查考生对基本概念的理解。

（Ⅱ）设表示台机器在同一时刻需用人操控的台数.

①当时，服从两点分布：

此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为.

②当时，，.即的分布列为：

此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为.工作人员待工而闲的概率为.

③当时，，.即的分布列为：

此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为，故一人操控的3台机器正常运行的概率为.工作人员待工而闲的概率为.

综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求.

考查方向

本题考查了二项分布及独立重复实验，考查考生的阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

解题思路

（1）用二项分布求数学期望

（2）首先要理解n取1，2，3时是属于什么概率问题，根据情况求出工作人员待工而闲的概率。

易错点

审题不清，不会用数学知识来转化。

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

19.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

20.建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

解析

(I)由折线图中数据和附注中参考数据得，，

，，

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）根据相关系数r公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得r的值，最后根据其值大小回答即可；

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1.82亿吨

解析

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.[来源:学+科+网]

所以，关于的回归方程为：

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）利用最小乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程，然后作预测。

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是.）

男生平均每天运动的时间分布情况：

女生平均每天运动的时间分布情况：

19.请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到）；

20.若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生

为“非运动达人”.

①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；

②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错

误的概率不超过的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”

参考公式：，其中

参考数据：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1) 小时;

解析

（Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故5，2，

则该校男生平均每天运动的时间为：

，

故该校男生平均每天运动的时间约为小时；

考查方向

本题主要考查频率分布直方图的知识、独立性检验等知识，意在考查考生的处理数据的能力和理解问题、解决问题的能力。

解题思路

根据题中给出的数据估计该校男生平均每天运动的时间约为小时；

易错点

不会根据频率分布直方图估计平均数；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2) ①4000;

②故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”

解析

（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有

人；

②由表格可知：

故的观测值

故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.

考查方向

本题主要考查频率分布直方图的知识、独立性检验等知识，意在考查考生的处理数据的能力和理解问题、解决问题的能力。

解题思路

先列出列联表后计算判断即可。

易错点

处理数据列列联表出错。

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

正确答案

知识点

散点图线性回归方程独立性检验的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.某人研究中学生的性别与阅读量的关系,随机抽查500名中学生,得到统计数据如下表:

附表:

参照附表,可得到的结论是（　　）.

A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“阅读量丰富与性别有关”

B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“阅读量丰富与性别无关”

C有99%以上的把握认为“阅读量丰富与性别有关”

D有99%以上的把握认为“阅读量丰富与性别无关”

正确答案

C

解析

由K2=,得K2=≈9.967,故项C.

知识点

独立性检验的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.某研究小组随机在高二学生中抽查了105名学生,以研究他们的数学成绩与物理成绩的联系,得到如图2×2列联表:

则数学成绩与物理成绩之间有关系的可能性为（　　）.

A0.1%

B99.9%

C97.5%

D0.25%

正确答案

C

解析

代入公式K2=≈6.11,

因为P(K2≥5.024)=0.025,

故1-0.025=0.975.

知识点

独立性检验的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．

参考数据：

（参考公式：，其中）

正确答案

（Ⅰ）

2

（Ⅱ） 90%

解析

试题分析：本题是概率与统计中的基本问题，难度不大，只要正确掌握公式，计算细心，就能正确得出答案。

考查方向

本题主要考查随机变量、二项分布、数学期望等知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力和建模能力，难度中等。

解题思路

本题主要考查随机变量、二项分布、数学期望等知识，

解题步骤如下:

利用二项分布的性质，写出分布列和数学期望；

利用题目中给出的参考公式计算、判断，从而得出结果。

易错点

第一问不能正确转化为二项分布列进行求解；

第二问看不懂题中给出的参考公式的意义，因而判断错误。

知识点

离散型随机变量及其分布列、均值与方差独立性检验的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

(1) 求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

正确答案

(1) 回归方程为＝0.5t＋2.3.

(2)预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

解析

知识点

线性回归方程回归分析的初步应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：

（1）根据统计结果，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关？

（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率.附：，其中．

正确答案

（1）能；

（2）．

解析

试题分析：本题属于独立性检验的应用、几何概型等知识点的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（1），

所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关.

（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，记为a，b，有4名同学运动时间超过2小时，记为A，B，C，D.

任意抽取两名同学共有，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，

恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有8个基本事件，

所以所求概率.

考查方向

本题考查了独立性检验的应用、几何概型等知识点。

解题思路

（1）根据统计表中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，吧观测值同临界值比较即可得出结果；

（2）先列出任意抽取两名同学的所有可能，再列出恰好有一位同学的运动时间超过2小时的可能，从而利用集合该选哪个公式求解即可．

易错点

知识点

独立性检验的应用

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