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题型:简答题
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简答题 · 18 分

对于定义域为的函数,若存在正常数,使得是以为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设单调递增,.

27. 验证是以为周期的余弦周期函数;

28. 设.证明对任意,存在,使得

29. 证明:“为方程上得解”的充要条件是“为方程上有解”,并证明对任意都有.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)略.

解析

试题分析:(1)根据余弦周期函数的定义,判断cosgx+6π)是否等于cosgx)即可.

证明:(1)易见的定义域为

对任意

所以

是以为余弦周期的余弦周期函数.

考查方向

考查对余弦周期函数定义的理解

解题思路

新定义问题一般先考察对周期定义的理解

易错点

周期定义的理解运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)略

解析

试题分析:(2)根据fx)的值域为R,便可得到存在x0,使得fx0)=c,而根据fx)在R上单调递增即可说明x0[ab],从而完成证明;

(2)由于的值域为,所以对任意都是一个函数值,即有,使得.

,则由单调递增得到,与矛盾,所以.同理可证.故存在使得.

考查方向

考查对构造方程解题的方法.

解题思路

新定义问题一般先考察对定义的理解,这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用,如在某些条件下,满足新定义的函数有某些新的性质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质.三是考查综合分析能力,主要将新性质有机应用在“旧”性质,创造性证明更新的性质.

易错点

存在性问题与函数单调性最值的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(3)略

解析

试题分析:(3)只需证明u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解得出u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解,是否为方程的解,带入方程,使方程成立便是方程的解.证明对任意x∈[0,T],都有f(x+T)=f(x)+f(T),可讨论x=0,x=T,x∈(0,T)三种情况:x=0时是显然成立的;x=T时,可得出cosf(2T)=1,从而得到f(2T)=2k1π,k1∈Z,根据f(x)单调递增便能得到k1>2,然后根据f(x)的单调性及方程cosf(x)=1在[T,2T]和它在[0,T]上解的个数的情况说明k1=3,和k1≥5是不存在的,而k1=4时结论成立,这便说明x=T时结论成立;而对于x∈(0,T)时,通过考查cosf(x)=c的解得到f(x+T)=f(x)+f(T),综合以上的三种情况,最后得出结论即可.

(3)若上的解,则,且

,即为方程上的解.

同理,若为方程上的解,则为该方程在上的解.

以下证明最后一部分结论.

由(2)所证知存在,使得.

是函数的单调区间,.

与之前类似地可以证明:上的解当且仅当上的解.

从而上的解的个数相同.

.

对于

,故.

类似地,当时,有.

结论成立.

考查方向

考查知道由cosf(x)=1能得出f(x)=2kx,k∈Z,以及构造方程解题的方法,在证明最后一问时能运用第二问的结论.

解题思路

新定义问题一般先考察对定义的理解,这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用,如在某些条件下,满足新定义的函数有某些新的性质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质.三是考查综合分析能力,主要将新性质有机应用在“旧”性质,创造性证明更新的性质.

易错点

周期定义的理解运用;存在性问题与函数单调性最值的联系;任意性问题成立的条件判断

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题型:简答题
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简答题 · 14 分

22. 已知函数(e为自然对数的底数)。

(1)求的最小值;

(2)设不等式的解集为P,且,求实数a的取值范围。

正确答案

(1)的导数

从而内单调递减,

内单调递增

所以,当x=0时,取得最小值1。

(2)因为不等式的解集为P,

所以对于任意,不等式恒成立。

当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑的情况。

的导数

从而内单调递减,在(1,2,)内单调递增。

所以,当时,取得最小值e-1。

解析

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知识点

区间与无穷的概念
1
题型:简答题
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单选题

凡事都有度,对于适当的超前,还是有必要的。但是现在的幼师,甚至校长都可能对幼儿教育一窍不通,把幼儿教育商业化,这难免违背了教育幼儿的初衷。他们的教育完全是迎合一些“望子成龙”的家长的需求。所以,在这件事情上,幼儿园负有部分责任,而家长也起着推波助澜的作用。 本段文字主要说明( )。

A.现在的幼儿教育过于超前
B.幼儿教育商业化违背教育初衷
C.幼儿教育违背初衷,幼儿园、家长难辞其咎
D.幼儿教育者的素质有待提高

正确答案

C

解析

[解析] 主旨概括题。通过阅读可以很快把重心锁定在最后一句话,在幼儿教育过于商业化而违背初衷的问题上幼儿园和家长都负有责任,这是作者的结论性语句。因此本题正确答案选择C项。A、B、D三项表述无误.但都是次要观点。

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题型:填空题
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填空题 · 5 分

的展开式中x3的项的系数是____(用数字作答)。

正确答案

80

解析

知识点

区间与无穷的概念
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数.

(1)求的定义域及最小正周期;

(2)求在区间上的最值.

正确答案

(1)RZ};

(2)最大值2,最小值1

解析

(1)由(Z),

的定义域为RZ}。…………………2分

因为

,………………………………6分

所以的最小正周期。…………………7分

(2)由 …………..9分

,…………….11分

.……………….13分

知识点

区间与无穷的概念
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

方程在区间上解的个数为        .

正确答案

4

解析

知识点

区间与无穷的概念
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知直线为参数且)与曲线(是参数且),则直线与曲线的交点坐标为         .

正确答案

(1,3)

解析

知识点

区间与无穷的概念
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在复平面内,复数对应的点位于()

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

A

解析

知识点

区间与无穷的概念
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据()(i=1,2,…,8),其回归直线方程是:,且,则实数a的值是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

区间与无穷的概念
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