- 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
- 共97题
如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点。
(1)若点的纵坐标为2,求;
(2)若,求圆的半径。
正确答案
见解析
解析
本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分12分。
(1)抛物线的准线的方程为,
由点的纵坐标为,得点的坐标为
所以点到准线的距离,又。
所以.
(2)设,则圆的方程为,
即.
由,得
设,,则:
由,得
所以,解得,此时
所以圆心的坐标为或
从而,,即圆的半径为
知识点
已知的三个顶点在抛物线C:上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,;
(1)若,求点M的坐标;
(2)求面积的最大值。
正确答案
(1)或(2)
解析
(1)解:由题意知焦点,准线方程为
设,由抛物线定义知,得到,所以
或
由,分别得
或
(2)解:设直线的方程为,点
由得
于是
所以中点的坐标为
由,得
所以 由得
由得
又因为
点到直线的距离为
所以
记
令,解得
可得在上是增函数,在上时减函数,在上是增函数,
又
所以,当时,取到最大值,此时
所以,面积的最大值为
知识点
在平面直角坐标系中,已知动点,点点与点关于直线对称,且.直线是过点的任意一条直线。
(1)求动点所在曲线的轨迹方程;
(2)设直线与曲线交于两点,且,求直线的方程;
(3)设直线与曲线交于两点,求以的长为直径且经过坐标原点的圆的方程。
正确答案
(1)(2)(3)
解析
(1)依据题意,可得点.
,
又,
.
所求动点的轨迹方程为.
(2) 若直线轴,则可求得,这与已知矛盾,因此满足题意的直线不平行于轴。
设直线的斜率为,则。
由 得。
设点,有 且恒成立(因点在椭圆内部)。
又,
于是,,即,
解得。
所以,所求直线
(3) 当直线轴时,,点到圆心的距离为1.即点在圆外,不满足题意.
满足题意的直线的斜率存在,设为,则.
设点,由(2)知,进一步可求得
依据题意,有,
,
即,解得.
所求圆的半径,
圆心为.
所求圆的方程为:
知识点
已知双曲线的离心率为2,一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲
线的渐近线方程为
正确答案
解析
略
知识点
如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点。
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
正确答案
(1) 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6; (2) -y2=1(x<-3,y<0)
解析
(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|。
由+y02=1得y02=1-,从而
x02y02=x02(1-)=。
当,时,Smax=6,从而时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6。
(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知
直线AA1的方程为
y=(x+3),①
直线A2B的方程为
y=(x-3),②
由①②得
y2=(x2-9)。③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故
y02=1-。④
将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0)。
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0)
知识点
如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:为定值,
正确答案
见解析。
解析
(1)
故椭圆的方程为 ,
(2)点与点关于轴对称,设,, 不妨设。
由于点在椭圆上,所以, (*)
由已知,则,,
。
由于,故当时,取得最小值为。
由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到,
故圆的方程为:,
(3)
知识点
以抛物y2=4x的焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程
是____
正确答案
解析
略
知识点
已知圆C的方程为,圆心C关于原点对称的点为A,P是圆上任一点,线段的垂直平分线交于点.
(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;
(2)过点B(1,)能否作出直线,使与轨迹交于M、N两点,且点B是线段MN的中点,若这样的直线存在,请求出它的方程和M、N两点的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)
如图,由已知可得圆心,半径,点A(1,0)
∵点是线段的垂直平分线与CP的交点,∴
又∵,∴
∴点Q的轨迹是以O为中心,为焦点的椭圆,
∵,∴,
∴点Q的轨迹的方程.
(2)假设直线存在,设,分别代入得
,
两式相减得,即
由题意,得,
∴,即
∴直线的方程为
由得
∵点B在椭圆L内,
∴直线的方程为,它与轨迹L存在两个交点,
解方程得
当时,;当时,
所以,两交点坐标分别为和
知识点
设点P是双曲线 与圆在第一象限的交点,分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为 ( )
正确答案
解析
略。
知识点
已知抛物线上有一点到焦点的距离为。
(1)求及的值。
(2)如图,设直线与抛物线交于两点,且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点,连接.试判断的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)焦点, ,………………3分
,代入,得………………5分
(2)联立,得:
,即………………6分
,
=,
,…………………9分
,………………11分
的面积………………13分
知识点
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