- 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
- 共97题
如图,在抛物线的焦点为
,准线
与
轴的交点为
,点
在抛物线
上,以
为圆心
为半径作圆,设圆
与准线
的交于不同的两点
。
(1)若点的纵坐标为2,求
;
(2)若,求圆
的半径。
正确答案
见解析
解析
本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分12分。
(1)抛物线的准线
的方程为
,
由点的纵坐标为
,得点
的坐标为
所以点到准线
的距离
,又
。
所以.
(2)设,则圆
的方程为
,
即.
由,得
设,
,则:
由,得
所以,解得
,此时
所以圆心的坐标为
或
从而,
,即圆
的半径为
知识点
已知的三个顶点在抛物线C:
上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,
;
(1)若,求点M的坐标;
(2)求面积的最大值。
正确答案
(1)或
(2)
解析
(1)解:由题意知焦点,准线方程为
设,由抛物线定义知
,得到
,所以
或
由,分别得
或
(2)解:设直线的方程为
,点
由得
于是
所以中点
的坐标为
由,得
所以 由
得
由得
又因为
点到直线
的距离为
所以
记
令,解得
可得在
上是增函数,在
上时减函数,在
上是增函数,
又
所以,当时,
取到最大值
,此时
所以,面积的最大值为
知识点
在平面直角坐标系中,已知动点,点
点
与点
关于直线
对称,且
.直线
是过点
的任意一条直线。
(1)求动点所在曲线
的轨迹方程;
(2)设直线与曲线
交于
两点,且
,求直线
的方程;
(3)设直线与曲线
交于
两点,求以
的长为直径且经过坐标原点
的圆的方程。
正确答案
(1)(2)
(3)
解析
(1)依据题意,可得点.
,
又,
.
所求动点
的轨迹方程为
.
(2) 若直线轴,则可求得
,这与已知矛盾,因此满足题意的直线
不平行于
轴。
设直线的斜率为
,则
。
由 得
。
设点,有
且
恒成立(因点
在椭圆内部)。
又,
于是,,即
,
解得。
所以,所求直线
(3) 当直线
轴时,
,点
到圆心的距离为1.即点
在圆外,不满足题意.
满足题意的直线
的斜率存在,设为
,则
.
设点,由(2)知,
进一步可求得
依据题意,有,
,
即,解得
.
所求圆的半径
,
圆心为.
所求圆的方程为:
知识点
已知双曲线的离心率为2,一个焦点与抛物线
的焦点相同,则双曲
线的渐近线方程为
正确答案
解析
略
知识点
如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点。
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
正确答案
(1) 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6; (2)
-y2=1(x<-3,y<0)
解析
(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|。
由+y02=1得y02=1-
,从而
x02y02=x02(1-)=
。
当,
时,Smax=6,从而
时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6。
(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知
直线AA1的方程为
y=(x+3),①
直线A2B的方程为
y=(x-3),②
由①②得
y2=(x2-9)。③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故
y02=1-。④
将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0)。
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0)
知识点
如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值,
正确答案
见解析。
解析
(1)
故椭圆的方程为
,
(2)点与点
关于
轴对称
,设
,
, 不妨设
。
由于点在椭圆
上,所以
, (*)
由已知,则
,
,
。
由于,故当
时,
取得最小值为
。
由(*)式,,
故
,又点
在圆
上,代入圆的方程得到
,
故圆的方程为:
,
(3)
知识点
以抛物y2=4x的焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程
是____
正确答案
解析
略
知识点
已知圆C的方程为,圆心C关于原点对称的点为A,P是圆上任一点,线段
的垂直平分线
交
于点
.
(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;
(2)过点B(1,)能否作出直线
,使
与轨迹
交于M、N两点,且点B是线段MN的中点,若这样的直线
存在,请求出它的方程和M、N两点的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)
如图,由已知可得圆心,半径
,点A(1,0)
∵点是线段
的垂直平分线
与CP的交点,∴
又∵,∴
∴点Q的轨迹是以O为中心,为焦点的椭圆,
∵,∴
,
∴点Q的轨迹的方程
.
(2)假设直线存在,设
,分别代入
得
,
两式相减得,即
由题意,得,
∴,即
∴直线的方程为
由得
∵点B在椭圆L内,
∴直线的方程为
,它与轨迹L存在两个交点,
解方程得
当时,
;当
时,
所以,两交点坐标分别为和
知识点
设点P是双曲线
与圆
在第一象限的交点,
分别是双曲线的左、右焦点,且
,则双曲线的离心率为 ( )
正确答案
解析
略。
知识点
已知抛物线上有一点
到焦点
的距离为
。
(1)求及
的值。
(2)如图,设直线与抛物线交于两点
,且
,过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
,连接
.试判断
的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)焦点,
,
………………3分
,代入
,得
………………5分
(2)联立,得:
,
即
………………6分
,
=
,
,…………………9分
,………………11分
的面积
………………13分
知识点
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