直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共97题

· 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
共97题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆E：的四个顶点构成一个面积为的四边形，该四边形的一个内角为60°．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为，求的最小值．

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属于直线与椭圆的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接根据题意构造方程组来求解；

（2）分斜率存在和不存在2种情况分类讨论，再利用设而不求的方法来计算出最小值。

（Ⅰ）由题解得，

所以椭圆E的方程为．

（Ⅱ）(1)当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，则，，

由在椭圆上，则，而，解得，，

可知，所以．

(2)当l的斜率存在时，设直线l：，

联立方程组消去y得，

由，得，

则，，（*）

，

原点O到直线l的距离，

△OAB的面积，整理得，即，

所以，即，满足，

可知，结合（*）得，，

则C，所以，

由于，则，当且仅当，即k＝0时，等号成立，故，

综上所述，的最小值为．

考查方向

本题考查了直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）直接根据题意构造方程组来求解；

（2）分斜率存在和不存在2种情况分类讨论，再利用设而不求的方法来计算出最小值。

易错点

第2问计算量大容易出错。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

7.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作

圆交双曲线的渐近线于两点，（异于原点），若，则双曲线的离

心率为（）

正确答案

解析

由题意作图

考查方向

本题考察了双曲线的几何性质，考察了圆的几何性质，考察了向量的平行四边形法则，考察了数量积运算，属于中档题

解题思路

1、根据题意画出简图

2、找到向量的性质直接得出a，b的关系

易错点

主要易错于圆的性质的判断，以及向量的几何意义的判断

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 6 分

10．双曲线的实轴长等于，其渐近线与圆相切，则 .

正确答案

6，

解析

试题分析：依题意可知双曲线的标准方程为，故实轴长为6，渐近线方程为，圆的标准方程为，由渐近线与圆相切可得，可解得，故此题答案为6，。

考查方向

本题主要考双曲线的定义、几何性质等知识点．

解题思路

化双曲线方程为标准方程，直接求出实轴长及渐近线方程，利用直线与圆相切即可求出实数m的值。

易错点

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）

正确答案

解析

因为点在抛物线上，，所以设满足,得到,所以在双曲线上,可得,,所以双曲线的标准方程为,所以双曲线的渐近线方程为,所以选B

考查方向

圆锥曲线的定义、性质与方程

解题思路

根据题意先求出点P的坐标，代入上曲线方程，求出m的值，从而得到双曲线的渐近线方程

易错点

计算能力弱；分类讨论不全面

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，点是抛物线的焦点.

22.求抛物线方程；

23.若点为圆：上一动点，直线是圆在点处的切线，直线与抛物线相交于两点（在轴的两侧），求四边形的面积的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

考查方向

本题考察了抛物线的定义及标准方程，考察了直线与圆的位置关系，考察了，利用函数求最值，题型比较综合，运算量较大

解题思路

根据抛物线的定义直接得出抛物线方程

易错点

本题易错在运算出错(忽略在y轴的两侧)，以及面积求解方式出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅱ）解法一：设点，则直线

联立直线l与抛物线方程可得，

由题意可得且，故，

而，，且，

∴

，

当且仅当时取“=”， ∴，

∴，

即四边形OAFB面积的最小值为．

考查方向

本题考察了抛物线的定义及标准方程，考察了直线与圆的位置关系，考察了，利用函数求最值，题型比较综合，运算量较大

解题思路

1、写出切线方程

② 可以直接借助圆的性质，直接得出圆的方程

②借助直线与圆的关系，圆心到直线的距离等于半径，得出k，m的关系

2、选取恰当的面积公式

①

3、直线与抛物线联立，借助韦达定理求出|AB|长，进而得到面积4、借助函数求最值得到答案

易错点

本题易错在运算出错(忽略在y轴的两侧)，以及面积求解方式出错

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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