空间向量的夹角及其表示
共66题

· 空间向量的夹角及其表示

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题型：简答题

简答题

三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设=，=，=．

（Ⅰ）试用，，表示向量；

（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．

正确答案

（Ⅰ）由图形知=++=++=(-)++(-)=++．

（Ⅱ）由题设条件

∵(

)2=

2+2•+2•+2•=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5，

∴|++|=，||=|++=|．

题型：填空题

填空题

已知点A的坐标为（1，3，5），点B的坐标为（3，1，4），则|AB|的长为______．

正确答案

∵点A的坐标为（1，3，5），

点B的坐标为（3，1，4），

∴|AB|=

=3．

故答案为3．

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A关于xOy平面的对称点为M（2，-3，5），M关于x轴的对称点为B，则线段AB的长度等于______．

正确答案

∵点A关于xOy平面的对称点为M（2，-3，5），

∴A（2，-3，-5），

∵M（2，-3，5）关于x轴的对称点为B，

∴B（2，3，-5），

∴|AB|==6，

故答案为：6．

题型：填空题

填空题

若=(2，3，-1)，=(-2，1，3)，则以，为邻边的平行四边形面积为______．

正确答案

设向量、的夹角为θ

∵=(2，3，-1)，=(-2，1，3)，

∴cosθ===-

由同角三角函数的关系，得sinθ==

∴以，为邻边的平行四边形面积为S=•sinθ=××=6

故答案为：6

题型：简答题

简答题

已知：=（x，4，1），=（-2，y，-1），=（3，-2，z），∥，⊥，求：

（1），，；

（2）（+）与（+）所成角的余弦值．

正确答案

（1）∵∥，∴==，解得x=2，y=-4，

故=（2，4，1），=（-2，-4，-1），

又因为⊥，所以•=0，即-6+8-z=0，解得z=2，

故=（3，-2，2）

（2）由（1）可得+=（5，2，3），+=（1，-6，1），

设向量+与+所成的角为θ，

则cosθ==-

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