- 直线与方程
- 共7398题
已知实数x、y满足不等式
正确答案
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M，N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意
所以所求轨迹E的方程为
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时
以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点
由
由
所以
则线段MN的中垂线m的方程为
整理得直线m：
则直线m与y轴的交点
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，
即
由
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）；
综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0。
已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0及点Q（-2，3）。
（1）P（a，a+1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若实数m，n满足m2+n2-4m-14n+45=0，求
正确答案
解：（1）∵点P（a，a+1）在圆上，
∴
∴
（2）∵圆心坐标C为（2，7），
∴
∴
（3）设点（-2，3）的直线l的方程为：y-3=k（x+2），即kx-y-2k+3=0，
易知直线l与圆方程相切时，K有最值，
∴
∴k=
∴
已知三点A(m-1，2)、B(1，1)、C(3，m2-m-1)，若AB⊥BC，求m的值。
正确答案
解：设AB、BC的斜率分别为k1、k2，
则
又知xa-xb=m-2，
①当m-2=0，即m=2时，k1不存在，此时，k2=0，则AB⊥BC；
②当m-2≠0，即m≠2时，
由
故若AB⊥BC，则m=2或m=-3。
已知四边形ABCD的顶点为A(2，2+2
正确答案
证明：
∴kAB=kCD，kBC=kAD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形。
若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3-b，3-a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为（ ）；圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线l对称的圆的方程为（ ）。
正确答案
-1；x2+（y-1）2=1
若实数x、y满足
正确答案
如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
正确答案
（1）∵点O（0，0），点C（1，3），
∴OC所在直线的斜率为kOC=
（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为kCD=-
∴CD所在直线方程为y-3=-
已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任一点，且点Q（-2，3），
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；
（Ⅲ）若M（m，n），求
正确答案
解：（Ⅰ）由点P（a，a+1）在圆C上，
可得
所以
（Ⅱ）由C：
所以圆心C坐标为（2，7），半径
可得
因此
（Ⅲ）可知
设直线MQ的方程为：
则
由直线MQ与圆C有交点，所以
可得
所以
求过下列两点的直线l的斜率k，
(1)A(a，b)、B(ma，mb)(m≠1，a≠0)；
(2)P(2，1)、Q(m，2)。
正确答案
解：已知直线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
当x1≠x2时，
当x1=x2时，斜率k不存在，
(1)∵m≠1，a≠0，
∴
(2)当m=2时，斜率k不存在；
当m≠2时，
∴
已知A(1，5)，B(-3，3)，则直线AB的倾斜角是（ ）。
正确答案
arctan
经过两点A（-3，5），B（1，1 ）的直线倾斜角为______．
正确答案
因为两点A（-3，5），B（1，1 ）的直线的斜率为k=
所以直线的倾斜角为：135°．
故答案为：135°．
曲线
正确答案
如图，在
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程。
正确答案
解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），
∴ OC所在直线的斜率为
（2）在
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC，
∴CD所在直线的斜率为
∴CD所在直线方程为
即x+3y-10=0。
已知P(x，y)为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上的动点，
（1）求x2+y2+4x-6y+13的最大值和最小值；
（2）求
正确答案
解：（1）设Q(-2，3)，则x2+y2-4x+6y+13=(x+2)2+(y-3)2=|PQ|2，
∴ |PQ|max=|CQ|+R=6
所以，原式的最大值为72，原式的最小值为8。
（2）依题意，k为(-2，3)与圆C上任意一点连线的斜率，
它的最大值和最小值分别是过(-2，3)的圆C的切线的斜率，
所以，kmax=tan(45°+30°)=2+
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