直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设直线的倾斜角为.

（1）若，试求B的取值范围；

（2）若，求的取值范围.

正确答案

⑴⑵

（1）若；若，即，

∴.综上所述：.

（2）若.

若则 .

综上所述知， .

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题型：填空题

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填空题

的倾斜角是

正确答案

倾斜角为:

点评：本题考查直线斜率公式、三角函数诱导公式，中档题

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：为定值。

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

，定值为4，存在Q（0，0）满足条件

（1）

∴椭圆方程为 ………………4分

（2）

直线CM：

代入椭圆方程

得 ………………6分

………………8分

（定值）…………10分

（3）设存在

……11分

则由 ………12分

从而得m=0

∴存在Q（0，0）满足条件 ………………14分

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）（2）符合条件的点存在，其坐标为

（1）设椭圆的方程为，由已知得，，，

椭圆的方程为．

（2）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由，

得，即，

，

所以，

对于任意的值，为定值，所以，得，

所以；

②当直线的斜率不存在时，直线，由得．

综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为．

法二：假设存在符合条件的点，又设则：

，

=．

①当直线的斜率不为时，设直线的方程为，由，得，

，

．

设则

，，．

②当直线的斜率为时，直线，由得：

．

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为．

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题型：简答题

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简答题

判断，，三点的位置关系，并说明理由．

正确答案

点在直线上，即，，三点共线

因为直线的斜率，

所以，直线的方程为，即．

把点的坐标代入方程的左边，

得，满足方程．

所以，点在直线上，即，，三点共线．

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题型：简答题

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简答题

为何值时，经过两点(－，6)，(1，)的直线的斜率是12．

正确答案

，．

即当时，，两点的直线的斜率是12．

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；

③抛物线的焦点坐标是；

④曲线与曲线（且）有相同的焦点．

其中真命题的序号为____________写出所有真命题的序号．

正确答案

③④

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．

（1）求的值．

（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．

（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．

正确答案

略

（1）由题设及，得．（4分）

（2）由题设，，又，得，，（8分）

于是，故．（10分）

（3）由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，

得，又，及，得点的坐标为，（12分）

因为点在椭圆上，所以，又，得，

，与矛盾,故不存在满足题意的直线．（16分）

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题型：简答题

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简答题

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2．

（1）求曲线C的方程；

（2）求证：直线l1、l2互相垂直；

（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，

∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x2=4y

（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0，

∴x1x2=-4，又y'=x，

∴直线l1的斜率为k1=x1，直线l2的斜率为k2=x2，

∴k1k2=•x1x2=-1，即直线l1和l2互相垂直．

（3）假设y轴上存在一点R（0，y0），使得直线RF始终平分∠ARB，则有kAR+kBR=0

∴+=0

∴x2（y0-y1）+x1（y0-y2）=0∴y0（x2+x1）-（x2y1+x1y2）=0

∴y0(x2+x1)-x1x2( x2+x1)=0

∴y0+1=0∴y0=-1，即存在R（0，-1）满足条件．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）

设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).

（1）若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；

（2）若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.

正确答案

（1）（2）（3）

（1），-----------------------------------------------------2分

代入---------------------------------- 4分

当时，点在圆上-------------------------------------------5分

（2）在椭圆上，即

可设------------------------------------------------------------------------7分

又，于是

（令）

点在双曲线上--------------------------------------------------------------------10分

（3）圆的方程为

设由

----------------------------------------------------------------------------------------------12分

又

，------------14分

又原点到直线距离，即原点到直线的距离恒为

直线恒与圆相切。---------------------------------------------------------16分

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为 .

正确答案

，根据对称性，两曲线交点连线垂直于轴，对双曲线这两个交点连线的长度是、对抛物线这两个交点连线的长度是，即，故，故，即，即，解得．

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题型：简答题

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简答题

求圆上的点到直线的距离的最小值和最大值．

正确答案

最小值为，最大值为

设与平行的直线为．

当直线与圆相切时，切点就是圆上到直线

的距离最短或最长的点，则，

得或．

当时，两平行直线与之间的距离是；

当时，两平行直线与之间的距离是．

圆上的点到直线的最小值为，最大值为．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为。

（I）求椭圆的方程；

（II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若

为直角三角形，求直线的斜率。

正确答案

（I）

（II）和

（I）由已知 ………………3分

又，解得

所以椭圆C的方程为。 ………………………………5分

（II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设。

联立，，消去y得，…………6分

，

令，解得。 ………………………………………………7分

设E、F两点的坐标分别为，

（i）当∠EOF为直角时，

则，…………………………8分

因为∠EOF为直角，所以，即，………………9分

所以，

所以，解得 ………………11分

（ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，

此时，，所以，即……①…………12分

又…………②

将①代入②，消去x1得

解得或（舍去），……………………13分

将代入①，得所以，………………14分

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和。

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题型：简答题

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简答题

已知l1、l2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．

正确答案

（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．

联立得y=k1（x+），y2-x2=1，

消去y得

（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0．①

根据题意得k12-1≠0，②

△1＞0，即有12k12-4＞0．③

完全类似地有-1≠0，④

△2＞0，即有12•-4＞0，⑤

从而k1∈（-，-）∪（，）且k1≠±1．

（2）由弦长公式得

|A1B1|=．⑥

完全类似地有

|A2B2|=．⑦

∵|A1B1|=|A2B2|，

∴k1=±，k2=．从而

l1：y=（x+），l2：y=-（x+）或l1：y=-（x+），l2：y=（x+）．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线x2-=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______．

正确答案

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

代入双曲线方程x2-=1相减得直线AB的斜率

kAB=

=

==6．

故答案为：6

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