热门试卷

（1）设所求直线倾斜角为θ，

已知直线的倾斜角为α，则θ=2α，

且tanα=，tanθ=tan2α==，

从而方程为8x-15y+6=0．

（2）设直线方程为+=1，a＞0，b＞0，

代入P（3，2），得+=1≥2，得ab≥24，

从而S△AOB=ab≥12，

此时=，∴k=-=-．

∴方程为2x+3y-12=0．

设直线l的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为，由已知直线l的斜率为tanα=及公式tanα=，得

tan2+2•tan-1=0．

解得tan=-或tan=--．

由于tanα=，而0＜＜1，故0＜α＜，0＜＜．因此tan＞0．

于是所求直线的斜率为k=tan=-．

故所求的直线方程为y-（-1）=（-）（x-1），

即（-）x-y-（-+1）=0．

：（1）由题意可得，解得a=，c=1，b=

所以椭圆E：+=1．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x==3，

设P（3，y0），Q（x1，y1），

因为PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=•==-1，

所以-y1y0=2（x1-1）

又因为kPQ•kOQ=•=且=2(1-)代入化简得kPQ•kOQ=-．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-．

（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-，kOQ=，

∴kPQ=-．

∴直线PQ的方程为y-y1=-(x-x1)，即y=-x+，

联立得(3+2)x2-12x1x+18-9=0，

∵3+2=6，18-9=6．

∴化简得：x2-2x1x+=0，又△=0，

解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

（1） （2）= 证明详见解析．

试题分析：（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．

（2）设过点 的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．

（1）由题意得       3分

所求椭圆C的方程为．        4分

（2）设过点 的直线方程为：，

设点，点                                                 5分

将直线方程代入椭圆

整理得：                                   6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且                                       7分

直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，

所以点的坐标                                          9分

直线 的斜率为

                   11分

将代入上式得：

所以为定值  

（1）kPA==-1…（2分）

kpB==1…（4分）

∵l与线段AB相交，

∴kpA≤k≤kpB∴-1≤k≤1…（8分）

（2）由（1）知0≤tanα≤1或-1≤tanα＜0

由于y=tanx在[0，)及(-，0)均为减函数

∴0≤α≤或≤α＜π…（12分）

（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，

即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．

其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y2=4x．

（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1．

过不过点P的直线方程为y=-x+b，由  得  y2+4y-4b=0，则y1+y2=-4．

由于P（1，2），kAP+kBP=+=+

=+==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 kMN===（***）．

设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），

由，可得y2-y+-4x0=0，

则y0+y1=，∴y1=-y0．

同理y0+y2=-，得y2=--y0．

代入（***）计算得：y1+y2=-2y0 ，∴kMN=-（为定值）．

（1）由题设知F1（-，0），F2（，0），其中a＞

由于．=0，则有⊥，所以点A的坐标为（±

故AF1所在直线方程为y=±（），所以坐标原点O到直线AF1的距离为，

又|OF1|=，所以=|=，解得：a=2．

∴所求椭圆的方程为+ =1．

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），故M（0，k）．

设Q（x1，y1），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．

根据题意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得或

又Q在椭圆C上，故+=1或+=1，

解得k=0，k=±4，综上，直线的斜率为0或±4

（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；

∵其与圆相切，则=1，化简得3k2-8k+3=0，

∴k1•k2=1．

（2）设点P坐标为（x0，y0），过点P的切线斜率为k，

则方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-2k+2=0，

∵其与圆相切，∴=1，化简得（x02-1）k2-2x0y0+（y02-1）=0，

∵k1，k2存在，

则x0≠1且x0≠-1，△=（2x0y0）2-4（x02-1）（y02-1）=4（x02+y02）-4＞0，

∵k1，k2是方程的两个根，

∴k1•k2==-λ，化简得λx02+y02=λ+1．

即所求的曲线M的方程为：λx2+y2=λ+1（x≠±1）；

若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；

若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；

若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；

若λ=1时，M所在曲线M是圆；

若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．

设B（x1，y1），C（x2，y2），

由题意可得：

即，

又，

相减得：（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴=-1

∴直线BC的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0

（2）设AB：y=k（x-3）+4，代入圆的方程整理得：

（1+k2）x2+（8k-6k2）x+9k2-24k-9=0

∵3，x1是上述方程的两根，

∴x1=，y1=

同理可得：x2=，y2=

∴kBC==

①设圆心（-1，0）到直线AB的距离为d，则 d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，

则直线AB的方程 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0，d=1=，

∴k=或-，

∴直线AB的倾斜角α=60°或 120°．

②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，

∴圆心（-1，0）到直线AB的距离d==，

直线AB的方程 y-2=k（x+1），

即kx-y+k+2=0，

由d==，

解可得k=1或-1，

直线AB的方程 x-y+3=0 或-x-y+1=0．

直线3x+4y-7=0的斜率为-，所以直线l的斜率为-，

设直线l的方程为y=-x+b，令y=0，

得x=b，令x=0，得y=b，

由于直线与两坐标轴的面积是24，

则S=|b|•|b|=24，解得b=±6，

所以直线l的方程是y=-x±6．