热门试卷

解：设AB中点为（x0，y0）

∴

又∵

∴（x1+x2）+（y1+y2）=12

∴2x0+2y0=12

∴x0+y0=6，即x0+y0﹣6=0

即点（x0，y0）在直线x+y﹣6=0上

∴原点（0，0）到x+y﹣6=0距离即为所求

∴中点M到原点的最小距离为d==3

解：（1）3x+4y-14=0；

（2）3x+4y+1=0或3x+4y-29=0。

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），

∴直线OA的方程斜率为=，

∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，

又线段AO的中点坐标为（3，），

∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），

即x+y﹣4=0①，

又线段OB的垂直平分线为x=4②，

∴将②代入①解得：y=0，

∴圆心C的坐标为（4，0），

又|OC|=4，即圆C的半径为4，

则圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=16；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，

又切线过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即=4，

解得：k=，

则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）；   

（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

又弦长为4，半径r=4，

∴圆心到切线的距离d==2，即=2，

解得：k=﹣，

∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），即4x+3y﹣26=0，

综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．

解：（1）设A点坐标为（x，y）

∵ 且 AE⊥AD，

∴KAD=﹣3又T（﹣1，1）在AD上，

∴ ，

∴ 即A点的坐标为（0，﹣2）

又∵M点是矩形AEFD两条对角线的交点，

∴M点（2，0）即为矩形AEFD外接圆的圆心，其半径 

∴⊙P的方程为（x﹣2）2+y2=8

（2）连AG延长交BC于点N（x0，y0），则N点是BC中点，连MN

∵G是△ABC的重心，

∴ ，

∴（1，3）=2（x0﹣1，y0﹣1），

∴ 

∵M是圆心，N是BC中点，

∴MN⊥BC，且 KMN=﹣5，

∴ ，

∴ 即直线BC的方程为x﹣5y+11=0

解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意；

②若直线l1斜率存在，

设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0，

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，

即，解之得，

所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0。

（Ⅱ）依题意设D（a，2-a），

又已知圆的圆心C（3，4），r=2，

由两圆外切，可知CD=5，

∴可知=5，解得a=3或a=-2，

∴D（3，-1）或D（-2，4），

∴所求圆的方程为。

解：（Ⅰ）由题意，得A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），

所以直线DE的方程为y=x-2，

直线BP的方程为，

解方程组得，

所以直线DE与直线BP的交点坐标为，

因为，

所以点在椭圆上，

即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上。

（Ⅱ）直线BR的方程为y=k1x+2，

解方程组得，

所以点R的坐标为，

因为，

所以直线BS的斜率，直线BS的方程为，

解方程组，

所以点S的坐标为，

所以R，S关于坐标原点O对称，

故R，O，S三点共线，即直线RS过定点O。

解：设与直线垂直的直线方程为，                                              

由         可以得到  

故交点的坐标为

又由于交点在所求直线上，因此，

从而     

故  所求的直线方程为。

解：（1）“略”；

（2）“略”。

解：(1)曲线方程为表示圆心为（-1，3），半径为3的圆，

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1。

(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y=-x+b，

将直线y=-x+b代入圆方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，

，得，

由韦达定理得，

，

∵，∴，

即，解得，

∴所求的直线方程为y=-x+1。

解：（1）设A点坐标为（x，y），

且AB⊥AD，

∴，

又T（-1，1）在AD上，

∴，

∴，即A点的坐标为（0，-2）。

又∵M点是矩形ABCD两条对角线的交点，

∴M点（2，0）即为矩形ABCD外接圆的圆心，其半径，

∴圆方程为；

（2）当EF⊥MG时，弦BC最短，

，

∴，

所以直线EF的方程为x-y=0。

解：（1）∵圆心在直线y=2x上，可设圆心C（a，2a），∵圆C经过点A（2，﹣1），

∴圆的半径为  r=，又圆和直线x+y=1相切，

∴=，解得 a=3，

∴a=3，r=4

∴圆C的方程 （x﹣3）2+（y﹣6）2=32．

（2）由上知，C（3，6），圆内有一点B（2，﹣），

以该点为中点的弦所在的直线与CB垂直，

故直线的斜率为 ==﹣，所求直线的方程 y+=﹣（x﹣2），

即：4x+34y+77=0．

（Ⅰ）证明：圆的圆心为C（0，1），半径为，

∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离，

∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点。

（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，

∴，

设，则，

化简得：，

当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）解：设，由，得，

∴，化简得，①

又由消去y得，，（*）

∴，   ②

由①②解得：，

带入（*）式解得：m=±1，

∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0。

（1）证明：设点P（x，y），

依题意，可得，

整理，得，

故动点P的轨迹方程为，

将直线EF的方程，代入圆C方程，

整理得，

根据根与系数的关系，得，，，……①

将直线GH的方程，代入圆C方程，

同理可得，，，……②

由①、②可得，所以结论成立。

（2）证明：设点，点，

由E、Q、H三点共线，得，解得，

由F、R、G三点共线， 同理可得，

由，

，

即，

。