热门试卷

解：（1）抛物线焦点为（2，0） 

椭圆方程为：              

（2）设    

与联立得    

设  AB中点    

∴

∵

∴所求的直线为：            

解：（1）由题意知，c+ =3（c﹣ ），

∴b=c，

∴a2=2b2，

∴e= = = ．

（2）设直线l：x=ky﹣x，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵ ，

∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①

由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，

由 ，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，

∴ ，…②  

，…③

由①②知， ， ，

∵ = ，

∴S=3 =3≤3 = ，

当且仅当|k|2=2，即k= 时取等号，

此时直线的方程为x= 或x= ．

又当|k|2=2时， =﹣ =﹣1，

∴由 ，得b2= ，

∴椭圆方程为 ．

解：（1）①∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，

∴b=c，

∴b2=a2-c2=c2，

∴a2=2c2，

∴；

②由∠APB=90°及圆的性质，知四边形OBPA为正方形，可得

∴|OP|2=2b2≤a2，

∴a2≤2c2∴，。

（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则切线PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2∴x1x+y1y=x2x+y2y，

∴

直线AB方程为：

即x0x+y0y=b2令x=0，得

令y=0得

∴

∴为定值，定值是。

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），

则=（x-a，y），=(-x，b-y)，

∴

又|AB|==8．

∴

∴曲线C的方程为

（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，

设直线PM的方程为x= my +4，

由消去x得（9m2+25）y2+72my-81=0

∴

∴

当

即时，△OPQ的面积取得最大值为，

此时直线方程为。

解：（1）由题意，知椭圆的焦点在x轴上，

且，∴a2=6，b2=2，

∴椭圆的方程为，

直线的方程为。

（2）设A，B，

由题意，直线的方程为，

将直线代入椭圆，

有，

∵，，

，

又∵，，

∴

，

∴，

∴点在以线段为直径的圆上。

解：（1）由题意，可设椭圆的方程为。

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率。

（2）由（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为。

由方程组得

依题意，得。

设，则， ①

②

由直线PQ的方程得。

于是。③

∵，∴。④

由①②③④得，从而。

所以直线PQ的方程为或。

（3）证明：

由已知得方程组

注意，解得

因，

故。

而，

所以。

解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线 AB的方程为：y=k（x+1），

代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以 ．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

解：抛物线的焦点为

∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合

∴椭圆的一个顶点为，

即

∵，

∴a=2，

∴椭圆的标准方程为；

（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交

①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），

∴，不合题意；

②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

，，

=

所以，

故直线l的方程为或；

（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）

由（2）可得：|MN|=

=

由消去y，

并整理得：，

|AB|=，

∴为定值 。

解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率

∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为

∴b=2，a=4

∴椭圆C2的方程为；

（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），

∵

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上

∴设AB的方程为y=kx

将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，

∴

将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，

∴

∵，

∴=4，

∴，

解得k=±1，

∴AB的方程为y=±x。

解：（1）椭圆C的方程为，

由已知得，解得，

∴所求椭圆的方程为，

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，

设l方程为x=my+2（m≠0）=1 ①，

代入，整理得（m2+2）y2+4my+2=0，

由△＞0得m2＞2．

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则=2 ②

由已知，，则，

由此可知，，即y2=2y1．

代入 ②得，，

消去y1得，

解得，，满足m2＞2．

即．

所以，所求直线l的方程．

解：（1）由

消去y，并整理，得

∵

∴

∴

∴

故直线l与椭圆E只有一个交点。

（2）直线l0的方程为x0（y-y0）=2y0（x-x0），

即2y0x-x0y-x0y0=0

设M（-1，0）关于直线l0的对称点N的坐标为N（m，n）

则

解得

∴直线PN的斜率为

从而直线PN的方程为

即

从而直线PN恒过定点G（1，0）。

（1）解：由题意，直线m的方程为，

∵椭圆的焦点在x轴上，且，，

∴椭圆的方程为。

（2）证明：设，，

∵直线m的方程为，

将直线代入椭圆有，

∵，，

∴，

又∵，，

∴

，

∴，

∴点F1（-2，0）在以线段AB为直径的圆上。

解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，

据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，

易求C2：y2=4x

设C1：，

把点（﹣2，0）（）代入

得：解得

∴C1方程为

（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为y=k（x﹣1），

与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）

由消掉y，

得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

于是，①

y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]

即②

由，即，

得x1x2+y1y2=0（*），

将①、②代入（*）式，

得，

解得k=±2；

所以存在直线l满足条件，

且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．