- 直线与方程
- 共7398题
求经过两直线2x-3y=3和x+y+2=0的交点且与直线x-3y+5=0平行的直线l的方程.
正确答案
联立:解得:
所以两直线的交点为(3,2)(5分)
设所求直线为x-3y+m=0,则3-3×2+m=0,m=3,
故所求直线方程为:x-3y+3=0(10分)
已知直线l1:2x+y-5=0,l2:x-2y=0
(1)求直线l1和直线l2交点P的坐标;
(2)若直线l经过点P且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
正确答案
(1)由题意,解得
,所求交点坐标P(2,1)…(5分)
(2)直线l经过点P且在两坐标轴上的截距相等,
当直线经过坐标原点时,所求直线方程为:y=2x;
当直线不经过原点时,所求直线的斜率为-1,
所以y-1=-1(x-2),即x+y-3=0,
所求直线方程为:x+y-3=0或y=2x…(10分)
求经过两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线l3:x-2y-1=0直线l的方程.
正确答案
解方程组,得交点(-2,2).
又由l⊥l3,且k3=,
因为两直线垂直得斜率乘积为-1,
得到kl=-2,
∴直线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.
已知直线l1:x+y-3=0,l2:x-y-1=0.
(Ⅰ)求过直线l1与l2的交点,且垂直于直线l3:2x+y-1=0的直线方程;
(Ⅱ)过原点O有一条直线,它夹在l1与l2两条直线之间的线段恰被点O平分,求这条直线的方程.
正确答案
(Ⅰ)由得
∵所求的直线垂直于直线l3:2x+y-1=0,∴所求直线的斜率为,
∴所求直线的方程为x-2y=0.
(Ⅱ)如果所求直线斜率不存在,则此直线方程为x=0,不合题意.
所以设所求的直线方程为y=kx.
所以它与l1,l2的交点分别为(,
),(
,
).
由题意,得+
=0.
解得k=2.
所以所求的直线方程为2x-y=0.
已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+y-3=0,求:
(1)直线l1与l2的交点P的坐标;
(2)过点P且与l1垂直的直线方程.
正确答案
(1)解方程组,得
,
所以,交点P(1,2).
(2)l1的斜率为3,故所求直线为y-2=-(x-1),
即为 x+3y-7=0.
已知直线m:2x-y-3=0,n:x+y-3=0.
(Ⅰ)求过两直线m,n交点且与直线x+3y-1=0平行的直线方程;
(Ⅱ)直线l过两直线m,n交点且与x,y正半轴交于A、B两点,△ABO的面积为4,求直线l的方程.
正确答案
(Ⅰ)由,得
,所以m,n的交点为(2,1)…(3分)
又所求直线与x+3y-1=0平行,所以所求直线的斜率为-,…(5分)
所求直线方程为y=-(x-2)+1即y=-
x+
…(7分)
(Ⅱ)方法一:由题可知,直线l的斜率k存在,且k<0.
则直线l的方程为y=k(x-2)+1=kx-2k+1令x=0,得y=1-2k>0
令y=0,得x=>0
所以S△OAB=(1-2k)
=4,解得k=-
…(13分)
所以l的方程为y=-(x-2)+1=-
x+2 …(14分)
方法二:由题可知,直线l的横、纵截距a、b存在,且a>0、b>0,则l:+
=1
又l过点(2,1),△ABO的面积为4
所以,…(10分)
解得,…(13分)
所以l方程为+
=1即y=-
x+2. …(14分)
已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的高CH所在的直线方程为2x-y-5=0,AC边上的中线BM所在的直线方程为x-2y-5=0.
(1)求顶点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.
正确答案
(Ⅰ)由AB边上的高CH所在直线方程为2x-y-5=0可知kAB=-,
又A(5,1),AB边所在直线方程为y-1=-(x-5)①
∵BM所在的直线方程为x-2y-5=0②
联立①②解得:x=6,y=
∴B(6,)
(2)设(x0,yo),则AC的中点M(,
)在中线BM上,即
-2×
-5=0又点C在高CH上,得2x0-y0-5=0
联立解得x0=1,y0=-3
即C(1,-3)
故直线BC的方程为7x-10y-37=0
已知一条直线经过两条直线l1:2x-3y-4=0和l2:x+3y-11=0的交点,并且垂直于这个交点和原点的连线,求此直线方程.
正确答案
设所求直线的斜率为k,交点为P(x,y),
由方程组,解得P(5,2).
故kOP=.
因直线与直线OP垂直,则k=-=-
,
所以所求直线的方程为y-2=-(x-5),
即5x+2y-29=0,
答:此直线的方程为5x+2y-29=0.
在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为2x-y+1=0.∠A的平分线所在直线的方程为x=0,若B点的坐标为(2,-1),求A点和C点的坐标.
正确答案
在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为2x-y+1=0.∠A的平分线所在直线的方程为x=0,
所以,A(0,1);
∵kBC=-∴lBC:y+1=-
(x-2)即x+2y=0,
又∠A的平分线所在直线方程为x=0.
∴kAC=-kAB=-=1
∴lAC:y=x+1由⇒
即C(-
,
).
所以A,C的坐标分别为(0,1);(-,
).
求经过两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点并且满足下列条件的直线方程.
(1)平行于直线2x+3y+7=0
(2)与点P(2,-1)距离等于1的直线方程.
正确答案
(1)联立方程,解得
,
故两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点为(1,6),
设平行于直线2x+3y+7=0的直线为2x+3y+c=0,代入(1,6),
可得2+18+c=0,解得c=-20,
所以所求直线的方程为:2x+3y-20=0
(2)当所求直线无斜率时,方程为x=1,显然满足到点P的距离为1,
当直线斜率存在时,设方程为y-6=k(x-1),即kx-y-k+6=0,
故点P到该直线的距离为=1,解得k=-
,
故方程为24x+7y-66=0,
故符合题意的方程为:24x+7y-66=0或x=1
已知点A(1,1),B(-1-3),直线l:x-2y+2=0.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若一圆经过点A,B,且圆心在直线l上,求此圆的标准方程.
正确答案
(1)线段AB的中点为(0,-1),斜率为 =
=-
,
故线段AB的垂直平分线的方程为y+1=-(x-0 ),即 x+2y+2=0.
(2)设圆心坐标为 C(2b-2,b),则由题意可得 半径r=CA=CB,
∴(2b-2-1)2+(b-1)2=(2b-2+1)2+(b+3)2=r2,
解得 b=0,r2=10,故圆心为 (-2,0),故此圆的标准方程为 (x+2)2+y2=10.
已知直线l1:A1x+B1y=1和l2:A2x+B2y=1相交于点P(2,3),则过点P1(A1,B1)、P2(A2,B2)的直线方程为 ______.
正确答案
∵直线l1和直线l2交于P(2,3),
∴把P(2,3)代入两直线得:2A1+3B1=1;2A2+3B2=1;
通过观察得到:过点P1(A1,B1)、P2(A2,B2)的直线方程为2x+3y=1即2x+3y-1=0
故答案为2x+3y-1=0
求分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过直线2x+y+2=0和3x+y+1=0的交点且与直线2x+3y+5=0平行;
(2)与直线l:3x+4y-12=0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.
正确答案
(1)将2x+y+2=0与3x+y+1=0联立方程组解得交点坐标为(1,-4).--(3分)
由所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则所求直线斜率为-,
所以方程为y+4=-(x-1),
从而所求直线方程为2x+3y-10=0--------------(7分)
(2)根据垂直直线系方程,设所求直线方程为4x-3y+m=0,令y=0得到x =-,令x=0得到y =
,--------(10分)
则S=| -
| |
| =
×
=6解得m=±12从而所求直线方程为4x-3y±12=0------------------------(14分)
(注:少一个方程扣两分)
已知直线l1:mx+8y+n=0,l2:2x+my-1=0,分别满足下列情况:
(1)两条直线相较于点P(m,-1);
(2)两直线平行;
(3)两直线垂直,且l1在y轴上的截距为-1,试分别确定m,n的值.
正确答案
(1)由点P在直线l1,l2上,故,
所以m=1,n=7. (3)分
(2)因为l1∥l2,且斜率存在,则=
,∴m=±4. (6分)
又当m=4,n=-2时,两直线重合,当m=-4,n=2,
∴当m=4,n≠2或m=-4,n≠2时,两直线平行. (10分)
(3)当m=0时直线l1:y=- 和l2:x=
此时,l1⊥l2,
又l1在y轴上的截距为-1,n=8,
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于 显然 l1与l2不垂直,
所以当m=0,n=8时,直线 l1 和 l2垂直满足题意. (14分)
已知直线l过点P(0,1),且l夹在两直线l1:x-3y+10=0与l2:2x+y-8=0之间的线段恰好被P点平分,则直线l的方程为______.
正确答案
设直线l与直线l1相交于点A(3a-10,a),直线l与l2相交于点B(b,8-2b),
∵线段AB的中点为P(0,1)
∴,解之得
由此可得A(-4,2),B(4,0)
∴直线l的方程为=
,化简得x+4y-4=0
故答案为:x+4y-4=0
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